¿Tienen estas matrices un nombre?

Question

Estoy buscando matrices $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ con $m>n$ , $A^TA=\frac{m}{n}I$ y $diag(AA^T)=(1\ \dots\ 1)$ donde $diag$ denota la diagonal. ¿Tienen nombre estas matrices? Un ejemplo de matriz de este tipo sería una $8\times 3$ con las coordenadas de un cubo centrado en el origen como filas. ¿Es la matriz $A$ para cada par $(m,n)$ ¿determinado de forma única hasta la multiplicación por la derecha con una matriz ortogonal? ¿Cómo son las $m$ puntos dados por las filas de $A$ distribuido en el $(n-1)$ -¿esfera dimensional?

Mi motivación es que tengo un $x\in \mathbb{R}^n$ . Supongo que puedo medir el producto escalar $a^Tx$ con cualquier vector unitario $a\in S^{n-1}$ . Se supone que las mediciones son i.i.d. Ahora suponemos que tenemos $m$ y escribir los vectores correspondientes como filas de una matriz $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ y los vectores como una matriz $b\in \mathbb{R}^m$ . La mejor reconstrucción posible (véase Gauss-Markov) de $x$ viene dada por la solución de mínimos cuadrados $(A^TA)^{-1}A^Tb$ donde $b\in \mathbb{R}^n$ denota las mediciones. La matriz de covarianza para la reconstrucción es $(A^TA)^{-1}$ . Esto significa que si $A$ satisface las propiedades anteriores, entonces los componentes de la reconstrucción $x$ no están correlacionados. También creo que $A$ nos da la mejor manera posible de medir $x$ es decir, minimizar la desviación estándar.

Answer 1

Suponiendo que el Conjetura de Hadamard es verdadero, si $m$ es un múltiplo de $4$ , y luego una delgada $m \times n$ que satisface las restricciones dadas viene dada por

$$\boxed{\mathrm A := \frac{1}{\sqrt n} \mathrm H_m^{\top} \mathrm S_n}$$

donde

• $\mathrm H_m \in \{\pm 1\}^{m \times m}$ es un Matriz de Hadamard . Así, el $m$ filas de $\mathrm H_m$ son ortogonales, es decir, $$\mathrm H_m \mathrm H_m^{\top} = m \mathrm I_m$$

• $\mathrm S_n$ es una delgada $m \times n$ matriz cuya $n$ Las columnas se eligen a partir del $m$ columnas del $m \times m$ matriz de identidad. Por lo tanto, la $n$ columnas de $\mathrm S_n$ son ortonormales, es decir,

$$\mathrm S_n^{\top} \mathrm S_n = \mathrm I_n$$

Por lo tanto,

$$\mathrm A^{\top} \mathrm A = \frac{1}{n} \mathrm S_n^{\top} \mathrm H_m \mathrm H_m^{\top} \mathrm S_n = \frac{m}{n} \mathrm S_n^{\top} \mathrm S_n = \frac{m}{n} \mathrm I_n$$

como se desee. Deje que $\mathrm e_k$ y $\mathrm h_k$ denotan el $k$ -a las columnas de $\mathrm I_m$ y $\mathrm H_m$ respectivamente. Por lo tanto,

$$\mathrm e_k^{\top} \mathrm A \mathrm A^{\top} \mathrm e_k = \| \mathrm A^{\top} \mathrm e_k \|_2^2 = \frac 1n \| \mathrm S_n^{\top} \mathrm H_m \mathrm e_k \|_2^2 = \frac 1n \| \mathrm S_n^{\top} \mathrm h_k \|_2^2 = \frac 1n \sum_{k=1}^n (\pm 1)^2 = \frac nn = 1$$

para todos $k \in \{1,2,\dots,m\}$ como se desee. Nótese que utilizamos el hecho de que las entradas de $\mathrm h_k$ son $\pm 1$ .

Si $m$ es una potencia de $2$ entonces $\mathrm H_m$ puede construirse de forma recursiva utilizando el Construcción Sylvester

$$\mathrm H_{2k} = \begin{bmatrix} \mathrm H_k & \mathrm H_k\\ \mathrm H_k & -\mathrm H_k\end{bmatrix} \qquad \qquad \qquad \mathrm H_1 = 1$$

que construye (simétricamente) Matrices de Walsh . Si $m$ es no un poder de $2$ podemos utilizar el Construcción Paley en su lugar.

---

Ejemplo

Dejemos que $m = 8$ y $n = 3$ . Desde $8$ es una potencia de $2$ podemos utilizar la construcción Sylvester para construir $\mathrm H_8$ .

Uso de MATLAB,

>> H1 = 1;
>> H2 = [H1,H1;H1,-H1];
>> H4 = [H2,H2;H2,-H2];
>> H8 = [H4,H4;H4,-H4]

H8 =

     1     1     1     1     1     1     1     1
     1    -1     1    -1     1    -1     1    -1
     1     1    -1    -1     1     1    -1    -1
     1    -1    -1     1     1    -1    -1     1
     1     1     1     1    -1    -1    -1    -1
     1    -1     1    -1    -1     1    -1     1
     1     1    -1    -1    -1    -1     1     1
     1    -1    -1     1    -1     1     1    -1

Que el $3$ columnas de $\mathrm S_3$ ser el primero $3$ columnas de $\mathrm I_8$

>> I8 = eye(8);
>> H8 * I8(:,[1,2,3])

ans =

     1     1     1
     1    -1     1
     1     1    -1
     1    -1    -1
     1     1     1
     1    -1     1
     1     1    -1
     1    -1    -1

Tenga en cuenta que las cuatro últimas filas son copias de las cuatro primeras. Por lo tanto, dejemos que el $3$ columnas de $\mathrm S_3$ sean las columnas 2, 3 y 5 de $\mathrm I_8$

>> H8 * I8(:,[2,3,5])

ans =

     1     1     1
    -1     1     1
     1    -1     1
    -1    -1     1
     1     1    -1
    -1     1    -1
     1    -1    -1
    -1    -1    -1

Tenga en cuenta que el $8$ Las filas son ahora el $8$ vértices del cubo $[-1,1]^3$ .

Construimos la matriz $\mathrm A$ normalizando las filas

>> A = inv(sqrt(3)) * H8 * I8(:,[2,3,5]) 

A =

    0.5774    0.5774    0.5774
   -0.5774    0.5774    0.5774
    0.5774   -0.5774    0.5774
   -0.5774   -0.5774    0.5774
    0.5774    0.5774   -0.5774
   -0.5774    0.5774   -0.5774
    0.5774   -0.5774   -0.5774
   -0.5774   -0.5774   -0.5774

¿Es la restricción $\mathrm A^{\top} \mathrm A = \frac 83 \mathrm I_3$ ¿Satisfecho?

>> A' * A

ans =

    2.6667         0         0
         0    2.6667         0
         0         0    2.6667

Lo es. ¿Son las entradas diagonales de $\mathrm A \mathrm A^{\top}$ igual a $1$ ?

>> A * A'

ans =

    1.0000    0.3333    0.3333   -0.3333    0.3333   -0.3333   -0.3333   -1.0000
    0.3333    1.0000   -0.3333    0.3333   -0.3333    0.3333   -1.0000   -0.3333
    0.3333   -0.3333    1.0000    0.3333   -0.3333   -1.0000    0.3333   -0.3333
   -0.3333    0.3333    0.3333    1.0000   -1.0000   -0.3333   -0.3333    0.3333
    0.3333   -0.3333   -0.3333   -1.0000    1.0000    0.3333    0.3333   -0.3333
   -0.3333    0.3333   -1.0000   -0.3333    0.3333    1.0000   -0.3333    0.3333
   -0.3333   -1.0000    0.3333   -0.3333    0.3333   -0.3333    1.0000    0.3333
   -1.0000   -0.3333   -0.3333    0.3333   -0.3333    0.3333    0.3333    1.0000

Lo son.