Sobre la existencia de una solución particular para una EDO

Question

El problema consiste en encontrar un $u(\cdot) \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R})$ tal que $$u''+u'-2u=f$$ donde $f$ es una función continua acotada en la recta real.

[Observaciones, editadas] Podemos reducir la EDO de 2 órdenes a una de primer orden simplemente dejando que $v=(u\ u')^t\in\mathbb{R}^2$ , entonces encontramos $${dv \over dt}=Av+\bar{f}$$ donde $A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\2 & -1 \end{pmatrix}$ y $\bar{f}=\begin{pmatrix} 0 \\ f \end{pmatrix}$ . Dado que el valor propio de $A$ es $1,-2$ podemos asociar algún invertible $P$ tal que $A=P^{-1}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -2\end{pmatrix}P$ . Es un cálculo fácil que $$P=\begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & -2\end{pmatrix},\quad P^{-1}={1 \over 3}\begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & -1\end{pmatrix}$$ entonces encontramos $$\begin{equation*} \begin{split} v(t)&=P^{-1}\begin{pmatrix}e^t & 0\\0& e^{-2t}\end{pmatrix} Pv(0)+\Nint_0^t P^{-1} \begin{pmatrix}e^{t-s} & 0\\0 &e^{-2(t-s)}\end{pmatrix}P\bar{f} (s)\Nds\Nde los que se han hecho cargo. &= P^{-1} \begin{pmatrix} e^t v_1+\int_0^t e^{t-s}f(s)\ ds\\e^{-2t} v_2-2\int_0^t e^{-2(t-s)}f(s)\ ds\end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}$$ donde $Pv(0)=(v_1\ v_2)^t$ . Por lo tanto, $$3u(t)=2\underline{\left(e^t v_1+\int_0^t e^{t-s}f(s)\ ds\right)}_{(1)}+\underline{\left(e^{-2t} v_2-2\int_0^t e^{-2(t-s)}f(s)\ ds\right)}_{(2)}$$ Ahora quiero elegir algunos $v_1,v_2$ haciendo $(1)$ queda acotado como $t \to +\infty$ y $(2)$ queda acotado como $t \to -\infty$ . Como estamos considerando una EDO lineal, podemos suponer $f\leq 0$ . Si $f$ es integrable en $\mathbb{R}$ , entonces simplemente dejando que $$v_1=\int_0^\infty e^{-s} f(s)\ ds,v_2=2\int_0^{-\infty}e^{-2s}f(s)\ ds$$ encontraremos la conclusión. Sustitución de $u$ en el sistema ODE por $-u$ encontramos que la conlusión se mantiene para los integrables no negativos $f$ por lo que para todo integrable $f$ . Ahora consideramos el intervalo truncado $I_n=[-n,n]$ y que $f_n=f\cdot \chi_{I_n}$ entonces $f_n$ es integrable en la recta real, por lo que debe existir alguna $u_n$ que satisface el sistema de EDO con $f$ sustituido por $f_n$ y permanece acotado en $\mathbb{R}$ . Como la solución se determina localmente, encontramos $u_k=u_l$ en $I_{\min{k,l}}$ . Esto parece completar la prueba. Pero no estoy satisfecho con la prueba ya que la suposición $f$ parece que se puede esgrimir, ¿hay algún otro enfoque más sencillo que se pueda utilizar para demostrar la existencia de alguna $u$ ?

Answer 1

No sé por qué necesitas $f\le 0$ o por qué $f$ debe ser integrable. Para cualquier continuo acotado $f$ el producto de $f$ con una función exponencial decreciente es integrable, por principio de comparación.

Además, creo que es más sencillo utilizar la función de Green $G(t,a)$ que por definición es una solución de $$u''+u'-2u=\delta_a \tag1$$ desapareciendo en el infinito. La singularidad de la función delta vendrá de $u''$ siempre y cuando $$u'(a+)=u'(a-)+1\tag2$$ Como la ecuación homogénea tiene soluciones $u=e^{t}$ , $u=e^{-2t}$ , deberíamos tener $u(t)=c_1e^{t}$ para $t<a$ y $u(t)=c_2e^{-2t}$ para $t>a$ para que $u$ desaparece en el infinito. Como no queremos $u$ mismo para tener una discontinuidad (que crearía una terrible singularidad de $u''$ ), la fórmula para $u$ puede simplificarse a $$u(t)=\begin{cases}ce^{t-a}, \quad &t\ge a \\ ce^{2a-2t}, \quad & t\le a \end{cases}\tag3$$ El valor de $c$ se determina insertando (3) en (2): $$c=-2c+1,\quad \text{hence } \ c=\frac13$$ Así, la función de Green es $$G(t,a)=\begin{cases}\frac13 e^{t-a}, \quad &t\ge a \\ \frac13e^{2a-2t}, \quad & t\le a \end{cases}\tag3$$ Para cualquier continuo acotado $f$ la solución deseada es $u(t)=\int_{-\infty}^\infty f(s)G(t,s)\,ds$ . En efecto, se trata de la convolución de $f$ con $G(t,0)$ aplicando el operador diferencial se obtiene la convolución de $f$ con $\delta_0$ que es $f$ en sí mismo. Una demostración rigurosa se da mejor para las funciones de Green en general, que en cada caso especial.

Answer 2

No sé por qué has utilizado matrices para resolver el problema. Para las ED de segundo orden, basta con utilizar la fórmula para la solución. Supongamos que $u_1,u_2$ son dos soluciones linealmente independientes de $u''+bu'+cu=0$ . Entonces la solución de $u''+bu'+cu=f$ es $$u=c_1u_1(t)+c_2u_2(t)-u_1(t)\int\frac{u_2(t)f(t)}{W(u_1,u_2)}dt+u_2(t)\int\frac{u_1(t)f(t)}{W(u_1,u_2)}dt.$$ Para su ecuación, $$u_1=e^t,u_2=e^{-2t}$$ y $$W(u_1,u_2)=-3e^{-t}$$ y por lo tanto la solución de su eq. es $$u=c_1e^{t}+c_2e^{-2t}+\frac{1}{3}e^{t}\int e^{-t}f(t)dt-\frac{1}{3}e^{-2t}\int e^tf(t)dt.$$