El problema consiste en encontrar un $u(\cdot) \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R})$ tal que $$u''+u'-2u=f$$ donde $f$ es una función continua acotada en la recta real.
[Observaciones, editadas] Podemos reducir la EDO de 2 órdenes a una de primer orden simplemente dejando que $v=(u\ u')^t\in\mathbb{R}^2$ , entonces encontramos $${dv \over dt}=Av+\bar{f}$$ donde $A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\2 & -1 \end{pmatrix}$ y $\bar{f}=\begin{pmatrix} 0 \\ f \end{pmatrix}$ . Dado que el valor propio de $A$ es $1,-2$ podemos asociar algún invertible $P$ tal que $A=P^{-1}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -2\end{pmatrix}P$ . Es un cálculo fácil que $$P=\begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & -2\end{pmatrix},\quad P^{-1}={1 \over 3}\begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & -1\end{pmatrix}$$ entonces encontramos \begin{equation*} \begin{split} v(t)&=P^{-1}\begin{pmatrix}e^t & 0\\0& e^{-2t}\end{pmatrix} Pv(0)+\Nint_0^t P^{-1} \begin{pmatrix}e^{t-s} & 0\\0 &e^{-2(t-s)}\end{pmatrix}P\bar{f} (s)\Nds\Nde los que se han hecho cargo. &= P^{-1} \begin{pmatrix} e^t v_1+\int_0^t e^{t-s}f(s)\ ds\\e^{-2t} v_2-2\int_0^t e^{-2(t-s)}f(s)\ ds\end{pmatrix} \end{split} \end{equation*} donde $Pv(0)=(v_1\ v_2)^t$ . Por lo tanto, $$3u(t)=2\underline{\left(e^t v_1+\int_0^t e^{t-s}f(s)\ ds\right)}_{(1)}+\underline{\left(e^{-2t} v_2-2\int_0^t e^{-2(t-s)}f(s)\ ds\right)}_{(2)}$$ Ahora quiero elegir algunos $v_1,v_2$ haciendo $(1)$ queda acotado como $t \to +\infty$ y $(2)$ queda acotado como $t \to -\infty$ . Como estamos considerando una EDO lineal, podemos suponer $f\leq 0$ . Si $f$ es integrable en $\mathbb{R}$ , entonces simplemente dejando que $$v_1=\int_0^\infty e^{-s} f(s)\ ds,v_2=2\int_0^{-\infty}e^{-2s}f(s)\ ds$$ encontraremos la conclusión. Sustitución de $u$ en el sistema ODE por $-u$ encontramos que la conlusión se mantiene para los integrables no negativos $f$ por lo que para todo integrable $f$ . Ahora consideramos el intervalo truncado $I_n=[-n,n]$ y que $f_n=f\cdot \chi_{I_n}$ entonces $f_n$ es integrable en la recta real, por lo que debe existir alguna $u_n$ que satisface el sistema de EDO con $f$ sustituido por $f_n$ y permanece acotado en $\mathbb{R}$ . Como la solución se determina localmente, encontramos $u_k=u_l$ en $I_{\min{k,l}}$ . Esto parece completar la prueba. Pero no estoy satisfecho con la prueba ya que la suposición $f$ parece que se puede esgrimir, ¿hay algún otro enfoque más sencillo que se pueda utilizar para demostrar la existencia de alguna $u$ ?