Si $\| f_n - f \|_{BV} \rightarrow 0$ entonces $f_n$ converge uniformemente a $f$ en $[a, b]$

Question

Estoy aprendiendo sobre funciones de variación acotada y necesito ayuda con este problema teórico:

Dejemos que $f_n : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ una secuencia de funciones en $BV[a, b]$ . Demuestre que si $\| f_n - f \|_{BV} \rightarrow 0$ entonces $f_n$ converge uniformemente a $f$ en $[a, b]$ .

Mis pensamientos:

Desde $\| f_n - f \|_{BV} \rightarrow 0$ esto significa que la secuencia de funciones $f_n$ satisface el criterio de Cauchy (¿tengo razón?). Así que para cada $\varepsilon > 0$ existe un $N$ para que $m, n > N$ implica que

$$\| f_n(x) - f_m(x) \|_{BV} < \varepsilon.$$

Hasta aquí llegué.

Answer 1

Si $||f||_{BV}=|f(a)|+V_a^bf$ entonces la definición de $V_a^b$ muestra que $$|f(x)|\le|f(a)|+|f(x)-f(a)|\le||f||_{BV}\quad(x\in[a,b]).$$

Por lo tanto, $$\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|\le||f||_{BV},$$ que dice precisamente que la convergencia en $BV$ implica una convergencia uniforme.