Número de subconjuntos/subconjuntos abiertos/subconjuntos cerrados de un espacio métrico.

Question

Dejemos que $(X,d_1)$ y $(X,d_2)$ sean dos espacios métricos que tienen el mismo conjunto infinito $X$ pero las diferentes métricas $d_1$ y $d_2$ .

Denota la colección de subconjuntos $X$ por $S$ y la colección de todos los subconjuntos abiertos de $(X,d)$ por $U_{d}$ .

Entonces, ¿es posible saber $|U_{d_1}|$ y $|U_{d_2}|$ las cardinalidades de las colecciones de todos los subconjuntos abiertos de $(X,d_1)$ y $(X,d_2)$ ?

Por ejemplo, si $X=\mathbb{R}$ y si la métrica $d$ en $\mathbb{R}$ se define como la métrica discreta, entonces $|U_d|=|S|.$

Pero, si $X=\mathbb{R}$ y si la función de distancia $d$ de $X$ se define como la función de distancia euclidiana habitual, $|U_d|=c$ .

En conculsión, lo que pregunto es si es posible caracterizar $|U_d|$ de un espacio métrico $(X,d)$ con $X$ siendo infinito, en términos de función métrica $d$ ?

Además, ¿es posible relacionar $|S|$ con $|U_d|$ de un espacio métrico $(X,d)$ en términos de función métrica $d$ ?

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un conjunto infinito.

Tenga en cuenta que una topología $\tau$ en X es una colección de subconjuntos de $X$ Es decir $\tau\subset P(X)$ .

Consideramos la colección $T$ de todas las topologías en X.

Elige una topología $\tau$ en $T$ uno a la vez, y que $(X,\tau)$ sea el espacio topológico correspondiente.

Si $(X,\tau)$ es un espacio metrizable, entonces sea un espacio métrico correspondiente $(X,d)$ . Entonces, $|U_d|$ del espacio métrico $(X,d)$ es igual a $|\tau|$ . Tenga en cuenta que puede haber más de una métrica $d$ tal que $(X,d)$ es un espacio métrico correspondiente a $(X,\tau)$ .

Si $(X,\tau)$ no es un espacio metrizable, entonces no hay una métrica $d$ tal que $\tau$ es la topología inducida por $d$ y, por tanto, para cualquier métrica $d$ en $X$ no tendremos $\tau$ como una colección de conjuntos abiertos de un espacio métrico $(X,d)$ .

Esto da un algoritmo abstracto para obtener la posible cardinalidad de una colección de todos los conjuntos abiertos de un espacio métrico $(X,d)$ de un conjunto infinito $X$ .

Por último, hay que tener en cuenta que $|U_d|\leq |P(X)|$ para cualquier métrica $d$ en $X$ .