El núcleo de Fejer no tiene límites

Question

Declaración: Dado el núcleo de Fejer $F_n(x) = \frac{1}{n}\bigg(\frac{\sin(\frac{nx}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}\bigg)^2$ . Demostrar que $F_n(x)$ es ilimitado para $x=0$ como $n\rightarrow \infty$

Answer 1

Falta un gran cuadrado: $$ F_n(x) = \frac{1}{2n\pi}\left( \frac{\sin(\frac{nx}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}\right)^2\sim_0 \frac{1}{2n\pi}\left( \frac{\frac{nx}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac n{2\pi} $$

Answer 2

Sugerencia

Cuando $a$ va a $0$ , $\sin(a) \simeq a$ . A continuación, sustituyendo cada seno por su argumento, para $x$ que va a $0$ , se llega a $$F_n(x) = \frac{1}{n}\bigg(\frac{\sin(\frac{nx}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}\bigg)^2\simeq n$$ Si quieres ir más allá, podrías utilizar una ampliación de Taylor construida en $x=0$ y obtener $$F_n(x) = \frac{1}{n}\bigg(\frac{\sin(\frac{nx}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}\bigg)^2\simeq n-\frac{1}{12} \left (n-1)n(n+1\right) x^2+O\left(x^3\right)$$