Un problema de prueba relacionado con el Teorema del Valor Medio

Question

Sea f una función diferenciable y continua en $[a,b]$ . Demuestre que si hay un número $c$ donde $a < c \leq b$ tal que $f'(c) = 0$ , entonces hay un número j donde $a < j < b$ tal que $f'(j) = \frac{f(j)-f(a)}{b-a}$

¿Esto es algo que implica la inversa del teorema del valor medio? ¿Cómo se debe abordar esta cuestión?

Cosas que he especulado:

c = b

f(j) = f(b)

f es una línea

Gracias de antemano.

Answer 1

Podemos suponer $f(c)>f(a)$ . Sea $d\in[a,c]$ satisfacer $f(d)=\max\{f(x)\mid x\in[a,c]\}$ . Entonces hay un poco de $e\in(a,d)$ tal que $$ f'(e) = \frac{f(d)-f(a)}{d-a} \ge \frac{f(e)-f(a)}{b-a}. $$ Por otro lado, $$ f'(c) = 0 < \frac{f(c)-f(a)}{b-a}. $$ De ello se deduce que hay algún $j\in[e,c)$ tal que $f'(j)=\frac{f(j)-f(a)}{b-a}$ .

He dejado los detalles como ejercicio. La última línea necesita un pequeño truco con dos teoremas bien conocidos.