¿Es la operada pre-Lie una operada no simétrica

Question

¿Se puede modelar un álgebra pre-Lie como una operada no simétrica? Observando la relación $(x \circ y) \circ z - x\circ (y \circ z) = (x \circ z) \circ y - x \circ (z \circ y ) $

no parece que pueda ser no simétrico ya que las variables cambian de orden.

Pero encontré este documento https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00337068/document por lo que parece ser tanto una operada no simétrica como una simétrica. ¿Es un álgebra sobre la no simétrica también un álgebra pre-Lie? ¿Cómo funciona esto?

Answer 1

Usted hace dos preguntas sutilmente diferentes en el título de su pregunta y en el cuerpo de la misma, así que voy a responder a ambas.

¿Es la operada pre-Lie una operada no simétrica

La operada preLie suele definirse como una operada simétrica. Pero cuando se tiene una operada simétrica, se pueden olvidar las acciones de grupo simétricas, y se obtiene una operada no simétrica. Esto es lo que hacen Bergeron y Livernet en su artículo: toman la operada preLie habitual (simétrica), olvidan la acción de grupo simétrica y la estudian como una operada no simétrica.

Si te ayuda, puedes pensar en ello de esta manera: imagina que tienes un anillo $(R, +, \times)$ se olvida su producto y sólo se estudia el grupo abeliano $(R, +)$ . Es un poco similar.

¿Puede modelarse un álgebra pre-Lie como una operada no simétrica?

No creo que esto sea posible. Más precisamente, no creo que exista una operada no simétrica $P$ tal que la categoría de ("no simétrica") $P$ -es equivalente a la categoría de álgebras preLie.

Por ejemplo, si se toma la operada preLie (simétrica) y se olvidan las acciones de grupo simétricas para obtener una operada no simétrica, entonces las álgebras sobre esta operada no simétrica (definida como un espacio $V$ equipado con un mapa $\mathsf{preLie} \to \mathrm{End}_V$ que es compatible con los mapas de composición operádica pero que no es necesariamente equivariante con respecto a la acción del grupo simétrico ) no son necesariamente álgebras preLie. En efecto, por el teorema de Bergeron y Livernet, tal cosa no es más que un espacio dotado de un cierto número de mapas multilineales que no satisfacen ninguna relación (porque la operada preLie no simétrica es libre). Un álgebra de preLie será un álgebra sobre esta operada no simétrica, porque si se tiene un morfismo de operada simétrica $\mathsf{preLie} \to \mathrm{End}_V$ puedes olvidarte de las acciones del grupo simétrico y seguirá siendo un morfismo de operadas no simétricas, pero lo contrario no es cierto.

Tal vez ayude ver un ejemplo más sencillo. Tomemos la operada (simétrica) que codifica las álgebras conmutativas, $\mathsf{Com}$ . Como ya sabrán uno tiene $\mathsf{Com}(n) = \Bbbk$ para todos $n$ asumiendo que trabajamos en espacios vectoriales, y que la acción del grupo simétrico es trivial en todo $\mathsf{Com}(n)$ . Ahora bien, si nos olvidamos de las acciones del grupo simétrico, obtenemos una operada no simétrica $P$ dado por $P(n) = \Bbbk$ para todos $n$ . ¿Qué son las álgebras (no simétricas) sobre estas operadas (no simétricas)? Bueno, como probablemente sepas, ¡son simplemente álgebras asociativas! Así que olvidarse de las acciones de los grupos simétricos ha cambiado la categoría de las álgebras. Esto es exactamente lo que ocurre también con la operada preLie: es una operada simétrica cuyas álgebras son álgebras preLie, pero si te olvidas de las acciones del grupo simétrico obtienes una operada no simétrica con álgebras completamente diferentes.