Implicación de dos desigualdades

Question

Dejemos que $\rho= k/x$ et $\rho_0= k/x_0$ con $k=constant$ , $\rho>0$ , $\rho_0>0$ y $k>0$

¿Esta implicación es cierta? Y si es así, ¿por qué?

$$ \forall \varepsilon > 0 \; \; \mbox{if } \; |\rho-\rho_0|\leq \varepsilon \; \; \rightarrow \; \; |x-x_0|< c \varepsilon $$

Con $c=constant$ .

Answer 1

Es falso. Tome $x= ax_0$ para algunos $a \ne 0$ . Para $x_0$ suficientemente grande, tiene $$|\rho-\rho_0| = \left| \frac{1-a}{a} \right| \cdot \left|\frac{k}{x_0} \right| \leq \varepsilon$$ mientras que $$|x-x_0| = \left| a-1 \right| |x_0| \uparrow + \infty$$