Demostrar que $ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{ik^2}=0$

Question

TL;DR : La pregunta es cómo puedo demostrar que $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{ik^2}=0$ ?

De forma más general la pregunta sería: dada una secuencia creciente de enteros $(u_k)$ y un número irracional $\alpha$ ¿Cómo puedo saber si $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2i\pi \alpha u_k}=0$ ? No estoy pidiendo un criterio para secuencias completamente generales, una respuesta para secuencias como $u_k=k^2$ , $v_k=k!$ o $w_k=p(k)$ con $p\in \mathbf Z [X]$ ya sería increíble.

Una pequeña explicación sobre esta cuestión:

En Análisis real y complejo por Rudin hay el siguiente ejercicio :

Dejemos que $f$ sea un valor continuo y complejo, $1$ -periódica y $\alpha$ un número irracional. Demuestre que $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(\alpha k)=\int_0^1f(x)\mathrm d x$ . (Decimos que $(\alpha k)_k$ se distribuye uniformemente en $\mathbf R / \mathbf Z$ )

Con la pista dada por Rudin la prueba es bastante sencilla: Primero se demuestra que esto es cierto para cada $f_j=\exp(2i\pi j\cdot)$ con $j\in \mathbf{Z} $ . Entonces, utilizando la densidad de los polinomios trigonométricos en $(C^0_1(\mathbf{R}),\|\cdot\|_\infty)$ y el hecho de que el $0$ -coeficiente de Fourier de $f$ es su integral a lo largo de un periodo, se puede concluir utilizando un $3\varepsilon$ argumento. Esta prueba es posible porque se pueden calcular explícitamente las sumas $$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2i\pi j \alpha k}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1-e^{2i\pi j\alpha n}}{1-e^{2i\pi j\alpha}}\longrightarrow 0 \text{ when }n\to\infty \text{ and }j\in \mathbf{Z}^*.$$

Ahora, utilizando un enfoque diferente (con sistemas dinámicos y teoremas ergódicos) Tao muestra en su blog que $(\alpha k^2)_k $ se distribuye uniformemente en $\mathbf R / \mathbf Z$ (corolario 2 en este blog ). Me gustaría demostrar este resultado utilizando los métodos del ejercicio de Rudin, pero esto reduce a mostrar que $$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2i\pi j \alpha k^2}\longrightarrow 0 \text{ when }n\to\infty \text{ and }j\in \mathbf{Z}^*.$$ De ahí mi pregunta.

P.D. Cuando le pido a wolfram alpha que calcule $\sum_{k\geq0}e^{ik^2}$ me responde con algún valor particular de la función Jacobi-theta. Por supuesto, la serie no es convergente, pero tal vez es algún tipo de técnica de resumen o continuación analítica. No estoy familiarizado con estas cosas pero podría ser interesante mirar en esa dirección.

Answer 1

Sumas de Gauss

Su suma está fuertemente relacionada con el Suma de Gauss . El truco habitual es calcular el módulo. Esto funciona especialmente bien en $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ como con las sumas de Gauss habituales, pero esencialmente también funciona aquí: Si $S = \sum_{k=0}^{n-1} e^{ik^2},$ entonces \begin{align} |S|^2 &= \sum_{k=0}^{n-1} \sum_{k'=0}^{n-1} e^{i(k'^2 - k^2)}\\ &= \sum_{h=-n+1}^{n-1} \sum_{\substack{0\leq k<n\\ 0\leq k+h<n}} e^{i(2kh+h^2)}, \end{align} donde hemos escrito $h=k'-k$ . Ahora la suma interna es una serie geométrica con a lo sumo $n$ términos y con ratio común $e^{i2h}$ , por lo que tenemos \begin{equation} \left|\sum_{\substack{0\leq k<n\\ 0\leq k+h<n}} e^{i(2kh+h^2)}\right| \leq \min\left(\frac{2}{|1-e^{i2h}|},n\right). \end{equation} Así, \begin{equation} |S|^2 \leq 2\sum_{h=0}^{n-1} \min\left(\frac2{|1-e^{i2h}|},n\right). \end{equation} Ahora arreglar $\epsilon>0$ . Desde $(h/\pi)_{h=1}^\infty$ está equidistribuido mod $1$ el número de $h=0,\dots,n-1$ para lo cual $|1-e^{i2h}| \leq \epsilon$ es $O(\epsilon n)$ Así que \begin{equation} |S|^2 \leq 2\sum_{\substack{0\leq h < n\\ |1-e^{i2h}| \leq \epsilon}}n + 2\sum_{\substack{0\leq h < n\\ |1-e^{i2h}| > \epsilon}} \frac2{|1-e^{i2h}|} \leq O(\epsilon n^2) + O(\epsilon^{-1} n). \end{equation} Desde $\epsilon$ fue arbitrario esto implica $|S|^2=o(n^2)$ y por lo tanto $|S|=o(n)$ .

El truco de van der Corput

La única cosa que realmente usamos sobre $k^2$ aquí es que para fijo $h$ entendemos el comportamiento de la secuencia $(k+h)^2 - k^2$ y, de hecho, si se repite el cálculo anterior pero con una aplicación juiciosa de la desigualdad de Cauchy--Schwarz entonces se demuestra un hecho general llamado teorema de la diferencia de van der Corput (también conocido como el truco de la diferencia de Weyl): si $(u_k)$ es una secuencia tal que para cada $h\geq 1$ la secuencia $(u_{k+h}-u_k)$ está equidistribuido módulo $1$ entonces $(u_k)$ está equidistribuido módulo $1$ . Véase, por ejemplo, el Corolario 2 en el blog de Tao aquí . Esto implica, por ejemplo, que $\sum_{k=0}^{n-1} e^{i2\pi p(k)} = o(n)$ para todo polinomio no constante $p$ con coeficiente principal irracional.

Otras secuencias

En general, no hay una regla rígida sobre $\lim \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} e^{i2\pi \alpha u_k}$ es decir, sobre la equidistribución de $(u_k)$ y, de hecho, la otra secuencia que mencionas, $k!$ es, en efecto, muy diferente. Para tomar un ejemplo un poco más simple pero cualitativamente similar, consideremos $u_k = 2^k$ . Sea $f_n(\alpha)$ sea la suma exponencial $\frac1n \sum_{k=1}^n e^{i2\pi \alpha 2^k}$ . Entonces es una consecuencia bien conocida del teorema ergódico que $f_n(\alpha)$ converge a $0$ para casi todos los $\alpha$ . Por otro lado, es evidente que $f_n(\alpha)\to 1$ para cada racional diádico $\alpha$ , como $\alpha 2^k$ es eventualmente constante $0$ mod $1$ . Pero entonces por el teorema de la categoría de Baire debemos tener para un conjunto comeagre de $\alpha$ que $f_n(\alpha)$ no converge a $0$ . Por lo tanto, es difícil decir algo demasiado general sobre $f_n(\alpha)$ especialmente en el caso de las $\alpha$ . Por ejemplo, probar $\lim_{n\to\infty} f_n(\sqrt{2})=0$ es un famoso problema abierto.

Poner a prueba tu comprensión

He aquí algunos problemas relacionados en los que hay que pensar, ¡no todos los cuales sé responder de buenas a primeras!

1. Es $(\sqrt{n})$ mod equidistribuido $1$ ?
2. ¿Qué pasa con $(\log n)$ ?
3. Demuestre que hay algunos $\alpha$ para lo cual $f_n(\alpha)$ no converge.
4. Determinar $\{z: f_n(\alpha)\to z~\text{for some}~\alpha\}$ .
5. Dejemos que $g_n(\alpha) = \frac1n \sum_{k=1}^n e^{i2\pi \alpha k!}$ . Demostrar afirmaciones para $g_n$ análogas a las que probamos para $f_n$ .
6. ¿Existe un poder de $2$ con al menos $7$ dígitos decimales iguales a $7$ ?
7. Piensa en otros problemas tontos (pero no abiertos) como estos.