Matemáticas discretas: comprensión de la prueba por inducción

Question

Así que tengo un ejemplo de una prueba que mi profesor utilizó la inducción para resolver, pero estoy teniendo problemas para entender el paso inductivo en la segunda diapositiva. Así que entiendo la parte en la que sustituyen k+1 en la fórmula, pero no entiendo de dónde viene el 1+2+...+ +( +1) y cómo se las arregló para convertirse en la ecuación en mi segundo subrayado?

Por ejemplo, la parte de k + (k+1) no parece coincidir con la fórmula original, y estoy confundido porque parece que han sustituido n por k en lugar de k + 1 como se indica al principio de la segunda diapositiva. Tampoco entiendo muy bien la recursividad, así que agradecería que alguien me explicara también los pasos de esa transición.

Answer 1

Cuando escriben $1+2+\ldots + (k+1)$ se refieren a la suma de todos los números enteros positivos hasta $k+1$ . El número entero antes de $k+1$ es $k$ .

Por lo tanto, $$1+2+\ldots + (k+1) =(1+2+\ldots + k)+ (k+1)\tag{1} $$

Ya sabemos que $1+2+\ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}$ por la hipótesis de inducción, sustituir esto en $(1)$ y tenemos

$$(1+2+\ldots + k)+ (k+1)= \frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$$

Answer 2

Mi entendimiento es que- En tu primer subrayado están considerando la suma $1+2+3..$ hasta $(k +1)$ . Esta serie puede escribirse como $1+2+3+...+(k+1)$ = $1+2+3+...+k+(k+1)$ .

En el segundo subrayado, sustituyeron $ 1+2+3+.. +k$ como $\frac{k(k+1)}{2}$ que se derivó de la "Hipótesis Inductiva".