Estoy estudiando algo sobre la transformada de Riesz. La página de la wikipedia sobre la transformada de Riesz https://en.wikipedia.org/wiki/Riesz_transform tiene algo que no me queda claro. En particular, me refiero a la sección titulada "Relación con el Laplaciano".
Lo primero que no me queda claro es por qué dice que la transformada de Riesz de $ f $ da las primeras derivadas parciales de una solución de la ecuación
\begin{equation} \left( -\Delta\right)^{\frac{1}{2}} u = f. \end{equation}
Sé que el laplaciano fraccionario se puede definir de esta manera $$\left(-\Delta\right)^{s} u\left(x\right) = c_{n} P.V. \int_{R^{n}} \dfrac{u\left(x\right) - u\left(y\right)}{\vert x -y\vert^{n + 2s}} dy $$ y la transformada de Riesz de una función $ f $ en el espacio de Schwartz se define como $$ R_{j} f\left(x\right) = C_{n} P.V. \int_{R^{n}} \dfrac{y_{j}}{\vert y\vert^{n+1}} f\left(x-y\right) dy $$
pero no soy capaz de justificar la ecuación
$$\left( -\Delta\right)^{\frac{1}{2}} u = f.$$
Lo segundo que no me queda claro es la relación \begin{equation} R_{i}R_{j} \Delta u = -\dfrac{\partial^{2} u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}. \end{equation} No tengo ni idea de cómo comprobarlo.
¿Podría alguien ayudarme?
Gracias.
