Demuestre que el grupo cociente $T/N$ es abeliano

Question

Dejar $T= \begin{bmatrix}a&b\\0&d\end{bmatrix}, a, b, d \in \mathbb{R}, ad \neq 0$

Y que $N = \begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}, b\in \mathbb{R}$

He demostrado que N es un subgrupo normal de T

Ahora tengo que demostrar que el grupo quptiente $\dfrac{T}{N}$ es un grupo abeliano (no estoy seguro de lo que representa ese grupo cociente).

Necesitaría una pista para resolver este problema

Answer 1

Definir un mapa $\phi:T\to\mathbb{R}^{\times}\times\mathbb{R}^{\times}$ por $$ \phi\Big(\begin{bmatrix}a&b\\0&d\end{bmatrix}\Big)=(a,d) $$ This is a homomorphism because if $t_j=\begin{bmatrix}a_j&b_j\\0&d_j\end{bmatrix}\in T$ , $j=1,2$ entonces $$ \begin{bmatrix}a_1&b_1\\0&d_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_2&b_2\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1a_2&a_1b_2+b_1d_2\\0&d_1d_2\end{bmatrix}$$ por lo que $\phi(t_1t_2)=(a_1a_2,d_1d_2)=(a_1,d_1)(a_2,d_2)=\phi(t_1)\phi(t_2)$ .

Desde $\mathbb{R}^{\times}\times\mathbb{R}^{\times}$ es un grupo abeliano, sólo queda demostrar que $\phi$ es suryente, y que el núcleo es $N$ , entonces utiliza el primer teorema de isomorfismo.

Answer 2

Lema. Dejemos que $H$ sea un subgrupo normal de un grupo $G$ . Entonces $G/H$ es abeliano si y sólo si $aba^{-1}b^{-1}\in H$ siempre que $a,b\in G$ .

Se puede encontrar una prueba rápida aquí .

Ahora, para aplicar el lema a nuestra situación, dejemos que \begin{align*} A &= \left[\begin{array}{rr} a & b \\ 0 & c \end{array} \right] & B &= \left[ \begin{array}{rr} w & x \\ 0 & y \end{array} \N - [derecha] \nd{align*} sean elementos de $T$ .

Entonces $$ ABA^{-1}B^{-1}= \left[\begin{array}{rr} 1 & -\frac{\frac{b w}{c} - \frac{a x + b y}{c}}{y} - \frac{x}{y} \\ 0 & 1 \end{array}\right] $$ así que $ABA^{-1}B^{-1}\in T$ . El lema implica entonces que $G/H$ es abeliana.