Dejemos que $$f(\alpha)= \alpha^{3} A(B+\alpha I)^{-3}C,$$ donde A , B y C son matrices reales cuadradas que no dependen del escalar $\alpha$ y I es la matriz de identidad. Necesito ayuda para calcular la derivada de f con respecto a tot $\alpha$ .
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Kevin
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Para la mayoría de los pasos se puede utilizar la regla del producto. Ten en cuenta que las matrices en general no conmutan, así que no alteres su orden (a menos que multipliques por un escalar como $\alpha$ ). Antes de hacer esto $f(\alpha)$ se puede escribir en una forma equivalente, a la que es más fácil encontrar las derivadas intermedias al aplicar la regla del producto
$$ f(\alpha) = \alpha^{3} A\,(B + \alpha\,I)^{-1} (B + \alpha\,I)^{-1} (B + \alpha\,I)^{-1} C. \tag{1} $$
Por lo tanto, la derivada de $(1)$ con respecto a $\alpha$ puede expresarse como
$$ \frac{d\,f(\alpha)}{d\alpha} = A \left(3\,\alpha^{2}(B + \alpha\,I)^{-3} + \alpha^{3} \frac{d\,(B + \alpha\,I)^{-1} (B + \alpha\,I)^{-1} (B + \alpha\,I)^{-1}}{d\alpha} \right) C, \tag{2} $$
con
$$ \frac{d\,(B + \alpha\,I)^{-1} (B + \alpha\,I)^{-1} (B + \alpha\,I)^{-1}}{d\alpha} = \frac{d\,(B + \alpha\,I)^{-1}}{d\alpha} (B + \alpha\,I)^{-2} + (B + \alpha\,I)^{-1} \frac{d\,(B + \alpha\,I)^{-1}}{d\alpha} (B + \alpha\,I)^{-1} + (B + \alpha\,I)^{-2} \frac{d\,(B + \alpha\,I)^{-1}}{d\alpha}. \tag{3} $$
En general, la derivada de una expresión de la forma $(X+\alpha\,Y)^{-1}$ con respecto a $\alpha$ se puede obtener aplicando la regla del producto a $(X+\alpha\,Y)^{-1} (X+\alpha\,Y) = I$ , lo que da lugar a
$$ \frac{d\,(X+\alpha\,Y)^{-1} (X+\alpha\,Y)}{d\alpha} = \frac{d\,(X+\alpha\,Y)^{-1}}{d\alpha} (X+\alpha\,Y) + (X+\alpha\,Y)^{-1} \frac{d\,(X+\alpha\,Y)}{d\alpha} = 0, \tag{4} $$
donde es de esperar que la derivada de $X+\alpha\,Y$ con respecto a $\alpha$ debe ser igual a $Y$ . Por lo tanto, resolver $(4)$ para la derivada de $(X+\alpha\,Y)^{-1}$ con respecto a $\alpha$ rinde
$$ \frac{d\,(X + \alpha\,Y)^{-1}}{d\alpha} = -(X+\alpha\,Y)^{-1} Y\,(X+\alpha\,Y)^{-1}. \tag{5} $$
Al utilizar $(5)$ para la derivada de $(B + \alpha\,I)^{-1}$ con respecto a $\alpha$ rinde
$$ \frac{d\,(B + \alpha\,I)^{-1}}{d\alpha} = -(B + \alpha\,I)^{-1} I\,(B + \alpha\,I)^{-1} = -(B + \alpha\,I)^{-2}. \tag{6} $$
En este caso la matriz $Y$ de $(5)$ es la matriz identidad, que siempre conmuta. Sin embargo, si $Y$ hubiera sido una matriz diferente no se simplificaría tanto. Sustituyendo $(6)$ en $(3)$ por lo tanto, da
$$ \frac{d\,(B + \alpha\,I)^{-1} (B + \alpha\,I)^{-1} (B + \alpha\,I)^{-1}}{d\alpha} = -3\,(B + \alpha\,I)^{-4}. \tag{7} $$
Por último, sustituyendo $(7)$ en $(2)$ rinde
$$ \frac{d\,f(\alpha)}{d\alpha} = 3\,A \left(\alpha^{2}(B + \alpha\,I)^{-3} - \alpha^{3} (B + \alpha\,I)^{-4} \right) C. \tag{8} $$
greg
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156
Para facilitar la escritura, defina las matrices $$\eqalign{ X &= B+\alpha I \quad&\implies\quad dX &= I\,d\alpha \\ Y &= X^3 \quad&\implies\quad dY &= (dX\,X^2 + X\,dX\,X + X^2dX) &= 3X^2d\alpha \\ X^{-1} &= X^2Y^{-1} \\ Y^{-1} &= X^{-3} \\ }$$ Escribe la función en términos de estas matrices y luego calcula su diferencial y su derivada. $$\eqalign{ F &= \alpha^{3} AY^{-1}C \\ dF &= d\alpha^{3} AY^{-1}C + \alpha^3A\,dY^{-1}C \\ &= \left(3\alpha^{2}d\alpha\right)AY^{-1}C - \alpha^3A\left(Y^{-1}dY\,Y^{-1}\right)C \\ &= 3\alpha^{2} AY^{-1}C\,d\alpha - 3\alpha^{3} AY^{-1}X^2Y^{-1}C\,d\alpha \\ &= 3\alpha^{2}AY^{-1}\left(I - \alpha X^{-1}\right)C\,d\alpha \\ &= 3\alpha^{2}AX^{-3}\left(I - \alpha X^{-1}\right)C\,d\alpha \\ \frac{dF}{d\alpha} &= 3\alpha^{2}A\left(X^{-3} - \alpha X^{-4}\right)C \\\\ }$$
NB: $\,$ Este conocido resultado del Cálculo Matricial fue utilizado anteriormente $$\eqalign{ &Y^{-1}Y = I \\ &dY^{-1}Y + Y^{-1}dY = 0 \\ &dY^{-1} = -\left(Y^{-1}dY\,Y^{-1}\right) \\ }$$
