Cálculo Fácil Ejercicio 2 Pregunta 10

Question

En Cálculo Fácil, Capítulo 5, Ejercicio II Pregunta 10:

(10) La mayor presión externa P que puede soportar un tubo sin colapsar viene dada por:

$$P = \left(\frac{2E}{1-\sigma^2}\right)\frac{t^3}{D^3}$$

donde $E$ y $\sigma$ son constantes $t$ es el espesor del tubo y $D$ es su diámetro. (Esta fórmula supone que $4t$ es pequeño en comparación con $D$ .) Compara el ritmo al que $P$ varía por un pequeño cambio de espesor y para un pequeño cambio de diámetro que tiene lugar por separado.

Originalmente tomé la pregunta como si tuviera que encontrar la derivada con respecto a $D$ y $t$ comparar no, pero ese no era el caso. En cambio en las respuestas(página 289) encontré:

$$\frac{\text{Rate of change of $ P $ when $ t $ varies}}{\text{Rate of change of $ P $ when $ D $ varies}} = \frac{-D}{t}$$

Observando mi error he probado a dividir las derivadas que he calculado (que no estoy 100% seguro de que sean correctas) obteniendo: $$\frac{\left(\frac{2E}{1-\sigma^2}\right)\frac{3t^2}{D^3}}{\left(\frac{2E}{1-\sigma^2}\right)\frac{t^3}{-3D^4}} = -\frac{9D}{t}.$$ Esto es casi lo mismo que la respuesta, pero ¿dónde está el $-9$ ¿Ir?

Answer 1

La derivada en el denominador está mal: la derivada de $t^3D^{-3}$ con respecto a $D$ es $t^3(-3D^{-4})$ . Por lo tanto, $$\frac{\text{Rate of change of $ P $ when $ t $ varies}}{\text{Rate of change of $ P $ when $ D $ varies}} = \frac{\frac{d}{dt}\left(ct^3D^{-3}\right)}{\frac{d}{dD}\left(ct^3D^{-3}\right)}=\frac{c3t^2D^{-3}}{ct^3(-3D^{-4})}=-\frac{D}{t}$$ donde $c=\left(\frac{2E}{1-\sigma^2}\right)$ .