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Distancia plana extrínseca vs. intrínseca


Contexto:

Dejemos que $\Psi: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathscr{H}$ ser un $C^k$ -incorporación de $\mathbb{R}^d$ en un espacio de Hilbert $\mathscr{H}$ .

Podemos ver $\mathscr{M}:=Im(\Psi)$ como un submanifold de $\mathscr{H}$ .

Definir las métricas: \begin{align} d_1: \mathscr{M} \times \mathscr{M} & \rightarrow [0,\infty)\\ d_1(m,n) & \mapsto \|\Psi^{-1}(m)-\Psi^{-1}(n)\|_{\mathbb{R}} \end{align} y la métrica de retroceso $d_2:=\Psi^{\star}(d_{\mathscr{H}})$ de la métrica inducida por el producto interno en $\mathscr{H}$ .


Pregunta:

Mi pregunta es si las dos métricas siguientes son equivalentes. Es decir, ¿existe una constante $K,k>0$ satisfactorio: \begin{equation} (\forall m,n \in \mathscr{M})\, d_1(m,n) \leq K d_2(m,n) \leq kd_1(m,n). \end{equation}


Razonamiento:

Estaba pensando que podríamos usar el difeomorfismo $\Psi$ (sobre $\mathscr{M}$ ) para definir una norma sobre $\mathbb{R}$ y luego utilizar el hecho de que todas las tipologías de normas son equivalentes en espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo hacer esto / o si esto realmente funcionaría ...

La intuición: Esto parece tener sentido intuitivamente cuando $\mathscr{H}=\mathbb{R}^D$ para algunos $D>>d$ con el producto interno euclidiano habitual, pero mi intuición se tambalea cuando el producto interno y el espacio son más extraños...

Sin embargo, ambos $\mathbb{R}^d$ y $\mathscr{H}$ tienen métricas planas... así que esto de nuevo me hace sentir que esto debe ser cierto...

Thanks for your help, ahead of time.

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user99914 Puntos 1

No son equivalentes. En efecto, su $d_1$ no tiene ninguna relación con cómo $\mathscr{M}$ se sienta en el interior $\mathscr{H}$ .

Contraejemplo: Sea $\Psi : \mathbb R \to \mathbb R^2$ , $\Psi(t) = (t, t^2)$ . Sea $a_n = (n, n^2)$ . Entonces $d_1(a_n, a_m) = |n-m|$ , mientras que

$$\begin{split} d_2(a_n, a_m) &= \sqrt{(n-m)^2 + (n^2-m^2)^2}\\ & = \sqrt{1 + (m+ n)^2}|n-m| \\ &= \sqrt{1 + (m+ n)^2} d_1(a_n, a_m). \end{split}$$

Por lo tanto, no existe $M>0$ para que

\begin{equation} d_2(x, y) \le Md_1(x, y),\ \ \ \forall x, y\in \mathscr M. \end{equation}

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