Contexto:
Dejemos que $\Psi: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathscr{H}$ ser un $C^k$ -incorporación de $\mathbb{R}^d$ en un espacio de Hilbert $\mathscr{H}$ .
Podemos ver $\mathscr{M}:=Im(\Psi)$ como un submanifold de $\mathscr{H}$ .
Definir las métricas: \begin{align} d_1: \mathscr{M} \times \mathscr{M} & \rightarrow [0,\infty)\\ d_1(m,n) & \mapsto \|\Psi^{-1}(m)-\Psi^{-1}(n)\|_{\mathbb{R}} \end{align} y la métrica de retroceso $d_2:=\Psi^{\star}(d_{\mathscr{H}})$ de la métrica inducida por el producto interno en $\mathscr{H}$ .
Pregunta:
Mi pregunta es si las dos métricas siguientes son equivalentes. Es decir, ¿existe una constante $K,k>0$ satisfactorio: \begin{equation} (\forall m,n \in \mathscr{M})\, d_1(m,n) \leq K d_2(m,n) \leq kd_1(m,n). \end{equation}
Razonamiento:
Estaba pensando que podríamos usar el difeomorfismo $\Psi$ (sobre $\mathscr{M}$ ) para definir una norma sobre $\mathbb{R}$ y luego utilizar el hecho de que todas las tipologías de normas son equivalentes en espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo hacer esto / o si esto realmente funcionaría ...
La intuición: Esto parece tener sentido intuitivamente cuando $\mathscr{H}=\mathbb{R}^D$ para algunos $D>>d$ con el producto interno euclidiano habitual, pero mi intuición se tambalea cuando el producto interno y el espacio son más extraños...
Sin embargo, ambos $\mathbb{R}^d$ y $\mathscr{H}$ tienen métricas planas... así que esto de nuevo me hace sentir que esto debe ser cierto...
Thanks for your help, ahead of time.