Cómo probar $g(x)$ es la función impar : $g(x)=-g(-x)$

Question

Pregunta:

dejar $f(x),g(x)$ es continua en $R$ y tal $$f(x-y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)$$ y $f(0)=1$

demuestran que: para cualquier $x\in R$ , tienen $g(x)=-g(-x)$

mi intento: dejar $x=y=0$ entonces $$f(0)-[f(0)]^2=g(0)g(0)\Longrightarrow g(0)=0$$

y que $x=0$ , nota $f(0)=1,g(0)=0$ Así que $$f(-y)=f(y)$$ desde $$g(x)g(y)=f(x)f(y)-f(x-y)$$ así que $$g(-x)g(y)=f(-x)f(y)-f(-x-y)=f(x)f(y)-f(x+y)$$ desde $$f(x+y)=f(x)f(-y)-g(x)g(-y)\Longrightarrow g(x)g(-y)=f(x)f(y)-f(x+y)$$ así que $$g(-x)g(y)=g(x)g(-y)$$

Pero no puedo tener $g(x)=-g(-x)$

Answer 1

Como la prueba viene directamente del comentario de Kelenner, pongo esta respuesta en la wiki de la comunidad, para no ganar puntos inmerecidos.

Suponemos que $f(0)=1$ y

$$\forall x,y \in \Bbb R, f(x-y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)$$

Obsérvese que en ninguna parte utilizamos la suposición de que $f$ o $g$ es continua.

Entonces, para todos los $x\in\Bbb R$ ,

$$1=f(0)=f(x-x)=f(x)^2-g(x)^2$$

Y

$$f(2x)=f(x)f(-x)-g(x)g(-x)$$

También, $\forall x,y\in \Bbb R$ ,

$$f(y-x)=f(x)f(y)-g(x)g(y)=f(x-y)$$

Por lo tanto, $\forall x\in\Bbb R$ , $f(x)=f(-x)$ Es decir, $f$ está en paz.

Por lo tanto, $f(-x-y)=f(x+y)$ o, $\forall x,y\in \Bbb R$ ,

$$f(-x)f(y)-g(-x)g(y)=f(x)f(-y)-g(x)g(-y)$$

Por lo tanto, $\forall x,y\in \Bbb R$ , $g(-x)g(y)=g(x)g(-y)$ .

Ahora, supongamos que $g(y_0)\neq0$ para algunos $y_0 \in \Bbb R$ .

Tenemos entonces, $\forall x\in\Bbb R$ , de tal manera que $g(x)\neq0$ , $$\frac{g(-x)}{g(x)}=\frac{g(-y_0)}{g(y_0)}=a$$

Dónde $a$ es un número real constante.

Y si $g(x)=0$ , entonces de $g(-x)g(y_0)=g(x)g(-y_0)=0$ y $g(y_0)\neq0$ tenemos que $g(-x)=0$ también.

Eso es, $\forall x\in\Bbb R$ , $g(-x)=ag(x)$ .

Pero entonces $\forall x\in\Bbb R$ , $g(x)=ag(-x)=a^2g(x)$ y como $g(y_0)\neq0$ podemos simplificar y $a^2=1$ o $a=\pm1$ . Así, la función $g$ es par o impar.

Si $g$ es par, entonces $\forall x\in\Bbb R$ ,

$$f(2x)=f(x)^2-g(x)^2=1$$

Así que $f$ es constante ( $=1$ ).

Pero entonces $\forall x\in\Bbb R$ , $g(x)^2=f(x)^2-f(2x)=0$ .

Por lo tanto, si $g$ es par, es la función nula.

Pero eso significa $g$ es siempre impar, ya que o bien es impar, o bien es nulo (por tanto también impar).

Answer 2

Sugerencia (usando ese $f(-x)=f(x)$ y $g(x)g(-y)=g(-x)g(y)$ los resultados de la pregunta anterior).

$x$ debe ser arbitraria en todo el cálculo.

Con $\forall x,y\in R$ $$g(x)g(-y)=g(-x)g(y)\tag{i}$$ set $y\to -x$ entonces $$g(x)^2=g(-x)^2\tag{ii}$$

Debido a $g$ es real $$g(-x)=\pm g(x)\tag{iii}$$ Si hay alguna $x_+$ para que $g(-x_+)=g(x_+)$ entonces con (i) $\qquad\forall y\in R: g(-y)=g(y)$ .

O hay un $x_-$ con $g(x_-)=-g(x_-)$ entonces con (i) $\qquad\forall y\in R:g(-y)=-g(y)$

Así, el signo en $(iii)$ debe ser el mismo para todos los valores de $x$ .

Ahora, a partir de $$f(x-y)=f(x)f(y)-g(x)g(y) \tag{1}$$ Establecer $y\to x$ $$1=f(0)=f(x)^2-g(x)^2\tag{2}$$

Ahora mira $$f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(-y)\tag{3}$$ Supongamos que $\forall x_+\in R:g(-x_+)=+g(x_+)$

A continuación, establezca $y\to x_+$ $$f(2x_+)=f(x_+)^2-g(x_+)^2\tag{4}$$ Comparación de $(2)$ y $(4)$ entonces ves $\forall x_+\in R:f(2x_+)=1$ .

Con $\forall x_+\in R:f(x_+)=1$ y $(2)$ se obtiene $\forall x_+\in R$ $$g(-x_+)=g(x_+)=0=-g(x_+) \tag{5}$$ o la suposición era errónea.

En resumen, se obtiene $$\forall x\in R:g(-x)=-g(x) \tag{6}$$ ¿He cometido algún error o falta algo?

Answer 3

Me gustan estos problemas, así que déjame intentarlo y escribirlo con claridad.

Dado que el lado derecho es invariante bajo el intercambio $x$ y $y$ tenemos $f(-t)=f(t)$ . Aplicando la identidad con $-x$ y $-y$ , utilizando que $f$ es par, da que $g(-x)g(-y) = g(x)g(y)$ para todos $x$ y $y$ . (1) Ajuste $x=y$ implica que $g(-x)\in \{ g(x), -g(x)\}$ para todo x.

Si $g\not\equiv 0$ , entonces toma cualquier $y$ tal que $g(y)\neq 0$ . Entonces, o bien $g(y)=g(-y)$ o $g(y)=-g(-y)$ y sustituyendo y dividiendo por $g(y)$ en la ecuación (1) muestra que $g$ es par o impar. (O idénticamente cero pero eso está bien porque ambos son pares e Impares).

Si $g$ es incluso entonces aplicar la primera identidad con $x$ y $-y$ , utilizando que $f$ y $g$ son ambos pares, resulta en $f(x-y)=f(x+y)$ Por lo tanto $f$ sería una constante a saber $f\equiv 1$ . Contradicción porque entonces $g(x) g(y) = 0$ para todos $x$ y $y$ Por lo tanto $g\equiv 0$ pero ya hemos desestimado ese caso.

Answer 4

En primer lugar, hay que tener en cuenta que al utilizar $f(x)=f(-x)$ $$ f(0) = f(x-x) = f(x)^2- g(x)^2 \\ f(0) = f(-x-(-x))=f(x)^2-g(-x)^2 \\ g(x)^2 = g(-x)^2 $$ Así pues, definamos en dos conjuntos (nótese que un elemento puede estar en ambos) $$ \Gamma^+=\{x \in \mathbb{R} : g(x) = g(-x) \} \\ \Gamma^-=\{x \in \mathbb{R} : g(x) = -g(-x) \} \\ $$ Claramente $\mathbb{R}=\Gamma^+ \cup \Gamma^-$ , de tal manera que $g$ es incluso para $x\in\Gamma^+$ e impar para $x\in\Gamma^-$ .

Considere $x\in\Gamma^+$ , uno tiene $$ f(x-y)=f(x)f(-y)-g(x)g(-y) \\ \therefore f(x-y)=f(x+y)\Rightarrow f(x-x)=f(x+x) \Rightarrow f(x)=1 \:\forall x\textrm{ as }f(0)=1 \\ \Rightarrow g(x)=0 \:\forall x \in\Gamma^+ $$ Así, $x\in\Gamma^+\Rightarrow g(x)=0 \Rightarrow g(x)=-g(-x)\Rightarrow x\in\Gamma^-$ . Así, $\mathbb{R}=\Gamma^-$ .