Cualquier subespacio lineal tiene medida cero

Question

Definición

Dejemos que $A$ sea un subconjunto de $\Bbb R^n$ . Nosotros decimos $A$ tiene medida cero en $\Bbb R^n$ sipara cada $\epsilon>0$ hay una cobertura $Q_1,\,Q_2,...$ de $A$ por un número contable de rectángulos tales que $$ \sum_{i=1}^\infty v(Q_i)<\epsilon $$ Si esta desigualdad se cumple, solemos decir que el volumen total de los rectángulos $Q_1,Q_2,...$ es menor que $\epsilon$ .

Teorema

Dejemos que $A$ estar abierto en $\Bbb R^n$ ; deja que $f:A\rightarrow\Bbb R^n$ sea una función de clase $C^1$ . Si el subconjunto $E$ de $A$ tiene medida cero en $\Bbb R^n$ , entonces el conjunto $f[E]$ también tiene medida cero en $\Bbb R^n$ .

Prueba . Véase el lema $18.1$ del texto "Analysis on Manifolds" de James Munkres.

Lema

El subconjunto $\Bbb R^m\times\{t_{m+1}\}\times...\times\{t_{m+(n-m)}\}$ de $\Bbb R^n$ tiene medida cero en $\Bbb R^n$ .

Prueba . Ver aquí .

Teorema

Cualquier subespacio lineal $W$ de $\Bbb R^n$ que tiene dimensión $m<n$ tiene medida cero.

Afortunadamente arreglé la siguiente prueba pero dudo que haya algunas imperfecciones.

Prueba . En primer lugar, si $W$ es un subespacio de $\Bbb R^n$ de dimensión $m<n$ entonces $$ W\equiv\big<w_1,...,w_m\big> $$ para algunos $w_1,...,w_m\in\Bbb R^m$ que son linealmente independientes por lo que tenemos que demostrar que el conjunto de la combinación lineal de estos vectores tiene medida cero. Ahora bien, si $\mathcal E:=\big\{e_1,...,e_n\big\}$ es la base canónica, entonces definimos la transformación lineal $t:\Bbb R^n\rightarrow\Bbb R^n$ a través de la condición $$ t(e_i):=\begin{cases}w_i,\,\,\,\text{if}\,\,\,i\le m\\0,\,\,\,\text{otherwise}\end{cases} $$ para cualquier $i=1,...,n$ para que $t\big[\Bbb R^n\big]=W$ . Por lo tanto, ampliamos el conjunto $\big\{w_1,...,w_m\big\}$ a una base $\mathcal W:=\big\{w_1,...,w_m,w_{m+1},...,w_n\big\}$ y luego consideramos el difeomorfismo (lineal) $f$ de la clase $C^1$ definido a través de la condición $$ f(e_i):=w_i $$ para todos $i=1,...,n$ . Así que si $f[W]$ tiene medida cero entonces $W$ también tiene medida cero. Así que como $f[W]=\Bbb R^m\times\{0\}^{n-m}$ el teorema se mantiene.

Entonces, ¿es correcta mi prueba? Entonces desafortunadamente no puedo probar que $f[W]=\Bbb R^m\times\{0\}^{n-m}$ . Así que, ¿podría alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Utilizando la notación de su teorema, sea $A = \mathbb{R}^n\subset \mathbb{R}^n$ para que $A$ es abierto y buscamos un difeomorfismo en $A$ para que $\mathbb{R}^m\times\{0^{n-m}\}$ se asigna a $W$ donde suponemos sin pérdida de generalidad que $\dim(W) = m$ . Desde $W$ es un subespacio de $\mathbb{R}^n$ entonces podemos encontrar una base para $W$ y etiquetar estos vectores $\{w_1, \ldots w_m\}$ . También podemos encontrar un $n-m$ vectores tales que $\{w_1, \ldots w_m, w_{m+1}, \ldots w_{n}\}$ es una base para $\mathbb{R}^n$ . Sea $\{e_1,\ldots e_n\}$ sea la base estándar para $\mathbb{R}^n$ . Consideremos la transformación lineal definida por $$ f(e_i) = w_i$$ Entonces $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ es una biyección lineal y por tanto es $C^1$ . Observe que $E = span\{e_1\ldots e_m\} = \mathbb{R}^m\times\{0^{n-m}\}$ y que $$f(E) = span\{f(e_1),\ldots f(e_m)\} = span\{w_1,\ldots w_m\} = W $$

Answer 2

No estoy seguro de que el siguiente enfoque sea correcto. El libro de Rudin Análisis Real y Complejo establece el resultado que se pide en la pregunta dentro de la demostración del Teorema 2.20 con respecto a la medida de Lebesgue sobre ${\boldsymbol{R^{k}}}$ . De ahí que se intente utilizar sólo los resultados hasta esta parte del libro.

La parte (a) del Teorema 2.20 dice que $m\left(W\right)=\text{vol}\left(W\right)$ por cada $k$ -célula $W$ . De este modo, podemos envolver o cubrir todo conjunto compacto (cerrado y acotado), $E$ en el subespacio inferior, $Y$ con dimensión, $m<k$ , con un adecuado $k$ -del espacio dimensional superior. Los parámetros adicionales para este $k$ -en la dimensión superior puede ser $-\frac{\epsilon}{2},\frac{\epsilon}{2}$ con $\epsilon>0$ . Esto da $m\left(E\right)=\text{vol}\left(E\right)\leq\epsilon^{k-m}\text{volm}$ . Aquí, volm es el volumen de la envoltura de $E$ en el $m$ -subespacio dimensional, $Y$ .

Desde $\epsilon$ fue arbitraria, $m\left(E\right)=\text{vol}\left(E\right)=0$ . Todo el espacio (y por tanto el subespacio) es $\sigma-$ compacto por lo que se puede escribir como la unión contable de conjuntos compactos (que son cerrados y acotados y por tanto cubiertos como el conjunto $E$ arriba) todos los cuales tienen medida cero, por lo que la medida de todo el subespacio es cero.

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Answer 3

No es exactamente una respuesta, pero no cabe en un comentario.

Es una consecuencia de un resultado general que es que si $p:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es un polinomio, entonces $p=0$ o no cero en casi todas partes. Hay una prueba concisa aquí .

Si $W$ es un subespacio propio de $\mathbb{R}^n$ entonces está contenido en algún hiperplano $H$ y podemos escribir $H= \{ x | \phi(x) = \alpha \}$ donde $\phi$ es un funcional lineal no nulo. Como el polinomio $p(x)=\phi(x)-\alpha$ es un polinomio no nulo en $x_1,..,x_n$ vemos que $H$ tiene medida cero.