¿Puedes determinar si una medida es finita mirando su transformada de Fourier-Stieltjes?

Question

Dejemos que $\hat{\mu}:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{C}$ sea una función arbitraria. Entonces, dejando que $\mathbb{C}\left[e^{2\pi it},e^{-2\pi it}\right]$ denotan el espacio vectorial de todos los polinomios trigonométricos (combinaciones lineales de la forma $\sum_{n=-N}^{N}a_{n}e^{2n\pi it}$ ), podemos definir un funcional lineal $d\mu:\mathbb{C}\left[e^{2\pi it},e^{-2\pi it}\right]\rightarrow\mathbb{C}$ mediante la fórmula: $$\int_{0}^{1}e^{-2n\pi it}d\mu\left(t\right)\overset{\textrm{def}}{=}\hat{\mu}\left(n\right),\textrm{ }\forall n\in\mathbb{Z}$$ que luego extendemos por linealidad. Mi pregunta es: ¿hay algún criterio útil sobre $\hat{\mu}$ para determinar si el $d\mu$ así definida es de hecho una medida de Borel finita sobre $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ ? En particular, me gustaría saber si hay criterios que más fácil para comprobar que lo siguiente:

Es bien sabido que las combinaciones lineales de la forma $\sum_{n=-N}^{N}a_{n}e^{2n\pi it}$ son densos en el espacio de Banach $C\left(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\right)$ de todos los continuos, $1$ -periódicas de valor complejo en el intervalo unitario, con respecto a la norma (supremum) de ese espacio. Por análisis funcional estándar, se sabe que toda función lineal continua sobre $C\left(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\right)$ es una medida de Borel finita sobre $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ como tal, para que $d\mu$ para ser finito, basta con que: $$\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=-N}^{N}a_{n}e^{-2n\pi it}\right)d\mu\left(t\right)=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=-N}^{N}a_{n}\hat{\mu}\left(n\right)$$ converge a un valor finito siempre que: $$\sum_{n=-N}^{N}a_{n}e^{-2n\pi it}$$ converge en norma suprema a una función en $C\left(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\right)$ como $N\rightarrow\infty$ . La razón por la que digo que esta condición suficiente "no es fácil de comprobar" es porque, por ejemplo, no se puede asumir que el $a_{n}$ s están en $\ell^{1}\left(\mathbb{Z}\right)$ -en ese caso, $\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}e^{-2n\pi it}$ sería un elemento del álgebra de Wiener en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ y se sabe que hay funciones continuas en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ que no están en el álgebra de Wiener.

Answer 1

El álgebra de Fourier-Stieltjes de un grupo discreto $G$ , normalmente denotado por $B(G)$ fue definido por P. Eymard en 1964 como es la extensión lineal, dentro del espacio de las funciones de valor complejo sobre $G$ de las funciones de tipo positivo, a saber, las funciones $f:G\to {\mathbb C}$ , de tal manera que $$\sum_{i,j=1}^nc_i\overline {c_j}f(g_j^{-1} g_i)\geq 0,$$ siempre que $g_1, g_2, \ldots , g_n\in G$ y $c_1, c_2, \ldots , c_n\in {\mathbb C}$ .

Como su nombre indica, $B(G)$ es efectivamente un álgebra bajo multiplicación puntual de funciones.

En el caso de un grupo abeliano $G$ como la que interesa a la OP, el álgebra de Fourier-Stieltjes es precisamente formada por las transformadas de Fourier de las medidas finitas en el grupo dual $\widehat G$ .

Resumiendo, una función $\hat \mu :{\mathbb Z}\to {\mathbb C}$ satisface la condición mencionada en la pregunta si y sólo si es un lineal de funciones de tipo positivo sobre ${\mathbb Z}$ .