Encuentra todos los campos intermedios del campo de división de $x^4 - 2$ en $\mathbb{Q}$

Question

De acuerdo, casi lo he resuelto, e incluso he creado diagramas de celosía como los que se muestran a continuación. Pero tengo una pregunta específica sobre la búsqueda de campos intermedios, que voy a preguntar en breve.

Dejemos que $\alpha = \sqrt[4]{2}$ y $\omega = e^{\frac{\pi}{4}i} = i$ . Entonces $L = \mathbb{Q}(\alpha, i)$ es el campo de división de $x^4 -2$ en $\mathbb{Q}$ . Además, el grupo de Galois $\Gamma_\mathbb{Q}(x^4 - 2) = D_8$ actúa sobre las raíces $\alpha, \alpha i, -\alpha,$ y $-\alpha i$ y se genera por rotación $\sigma$ y la reflexión $\tau$ , donde $\sigma(i) = i, \sigma(\alpha) = \alpha i$ y $\tau(\alpha) = \alpha, \tau(i) = -i$ .

Para encontrar los campos intermedios entre $L$ y $\mathbb{Q}$ , encuentre los subgrupos de $D_8$ en cambio, con la idea de que encontrar subgrupos es más fácil y se entiende mejor que encontrar campos intermedios. Luego, a partir de los subgrupos, utilizar la correspondencia de Galois para obtener todos los campos intermedios.

Hay 10 subgrupos de $D_8$ que deben corresponder a 10 campos intermedios. Pues bien, reuní 8 candidatos obvios para campos intermedios, y al final, tuve que buscar los otros 2 que eran $\mathbb{Q}(\alpha(1 + i))$ y $\mathbb{Q}(\alpha(1 - i))$ . Esos dos parecían extraños hasta que me di cuenta de que $\sqrt{8\alpha^2 i} = \alpha(1 + i)$ .

Finalmente, pude comprobar los campos fijos para verificar la correspondencia exacta, y llegar a los diagramas.

Pregunta: ¿Existe un enfoque sistemático para encontrar y conectar los campos intermedios correspondientes una vez que se conocen todos los subgrupos?

Supongo que, en general y quizás en este ejemplo con $D_8$ ¿No hay una forma buena y canónica de anticipar y construir las extensiones de campo? La estructura de los grupos y subgrupos, como ya se ha dicho, es más fácil y se entiende mejor que la estructura de las extensiones de campo. Quizá esto tenga sentido porque los grupos son finitos y tienen una sola operación, y los campos suelen ser infinitos y tienen dos operaciones.

y

ACTUALIZACIÓN: En esta conferencia En la página web de Richard Borcherds se describe claramente cómo obtener los dos campos intermedios no evidentes a partir de los subgrupos. En concreto, añade las raíces $\alpha$ y $\alpha i$ para fijar por reflexión un camino, y luego añadir las raíces $\alpha$ y $-\alpha i$ arreglar mediante la reflexión en el otro sentido.

Answer 1

Para $L/K$ una extensión de Galois finita con grupo de Galois $G = \text{Gal}(L/K)$ sabemos por la correspondencia de Galois que los campos intermedios $F$ corresponden a subgrupos $H \subseteq G$ siendo el campo intermedio $F = L^H$ . Así que la pregunta es si hay una forma sistemática de calcular el subcampo fijo $L^H$ .

Ejercicio 1: Supongamos que la característica de $K$ no divide $|H|$ . Entonces $L^H$ es la imagen del promedio o Operador Reynolds $$L \ni x \mapsto \frac{1}{|H|} \sum_{h \in H} hx \in L^H.$$

Así que podemos proceder a promediar cada elemento de una base de $L$ , produciendo un conjunto de elementos que abarcan $L^H$ y luego encontrar un subconjunto de estos que sea una base. Esto no siempre dará el resultado más fácil de entender, pero definitivamente funcionará. En particular,

$$\alpha + i \alpha = \alpha + \sigma(\alpha)$$

y

$$\alpha - i \alpha = \alpha + (\tau \sigma \tau^{-1})(\alpha).$$

Ejercicio 2: Para $p$ un primo impar, el campo ciclotómico $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ (donde $\zeta_p = \exp \left( \frac{2\pi i}{p} \right)$ ) tiene un único subcampo cuadrático. Encuéntralo, usando el Ejercicio 1 y el hecho de que el grupo de Galois es $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ , donde $n \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ actúa por $\zeta_p \mapsto \zeta_p^n$ .

Si te quedas atascado en el último paso consulta el artículo de Wikipedia sobre sumas cuadráticas de Gauss . ¡Diviértete! Un ejercicio más sencillo que puedes hacer como calentamiento es encontrar primero el subcampo único de grado $\frac{p-1}{2}$ .