Derivar $\tau = \frac{\langle a' \times a'', a''' \rangle}{||a' \times a''||^2}$ (torsión) directamente en lugar de demostrarlo.

Question

Dejemos que $a(t)$ sea una curva parametrizada. Entonces la torsión de la curva se puede calcular como

$$\tau = \frac{\langle a' \times a'', a''' \rangle}{||a' \times a''||^2}$$ He visto una prueba de esta fórmula. Pero, sin embargo, me pregunto si es posible derivar esta fórmula directamente. Creo que debo aclarar mi intención: Supongamos que conoces la definición de torsión pero no conoces la fórmula de la torsión como en la ecuación anterior. Entonces, alguien te pide que des una fórmula para la torsión en términos de $a(t)$ y sus derivados. ¿Cómo procederías y cómo encontrarías esta ecuación de arriba? Creo que, tiene que venir de alguna parte...

Sé cómo funciona la prueba, pero ¿qué pasa si no se conoce la fórmula a probar de antemano ..

Answer 1

Esto se hace claramente en Geometría diferencial elemental por Pressley claramente (véase la proposición 2.3.1).

Denotemos la identidad como (2.14), entonces tenemos los siguientes cálculos.