Una pregunta sobre los elementos definibles en un modelo de ZFC

Question

Dejemos que $\langle M,E\rangle$ sea un modelo de $\mathsf{ZFC}$ .

¿Existe una $d\in M$ tal que, para todo $a\in M$ , $a\mathrel{E}d$ si y sólo si $a$ es definible en $\langle M,E\rangle$ ¿sin parámetros?

Un resultado de J.D. Hamkins, etc. (cf. Modelos definibles puntualmente de la teoría de conjuntos ) muestra que, para algunos modelos de $\mathsf{ZFC}$ , tal como $d$ no puede existir. ¿Existe un modelo en el que tal $d$ ¿existe?

Answer 1

En el documento que mencionas en el post original, se mencionan varias de las posibilidades como sigue. El punto (v) incluye la situación particular por la que preguntaste.

Hamkins, Joel David; Linetsky, David; Reitz, Jonas , Modelos definibles puntualmente de la teoría de conjuntos J. Symb. Log. 78, nº 1, 139-156 (2013). ZBL1270.03101 . entrada del blog

Pasemos ahora a la cuestión de hasta qué punto definibilidad es expresable en primer orden, presentando una serie de ejemplos que ilustran el abanico de posibilidades. posibilidad. Ya hemos observado que la propiedad de de que un modelo sea definible puntualmente no es expresable de primer orden expresable de primer orden, ya que no se preserva con extensiones elementales no triviales. extensiones elementales no triviales. Dado que la definibilidad puntual es una generalización fuerte del axioma $V=\newcommand\HOD{\text{HOD}}\HOD$ es tentador introducir una notación como $V=D$ o $V=HD$ para expresar que un modelo es definible puntualmente, manteniendo así un paralelo a la clásica $V=\HOD$ notación mientras que haciendo hincapié en que las definiciones no necesitan parámetros. Sin embargo, Sin embargo, dudamos en adoptar esta notación porque tememos que que sugiera incorrectamente que el concepto es expresable en primer orden, lo que no es el caso.

(i) No existe una definición uniforme de la clase de elementos definibles. En concreto, no existe una fórmula $\mathop{\rm df}(x)$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos que es satisface en cualquier modelo $M\newcommand\satisfies{\models}\satisfies\newcommand\ZFC{\text{ZFC}}\ZFC$ exactamente por el elementos definibles. La razón es que si $M_0$ es definible puntualmente y $M_0\prec M$ es un extensión elemental, entonces los elementos definibles de $M_0$ y $M$ son precisamente los elementos de $M_0$ y así $M_0$ debe satisfacer $\forall x\,\mathop{\rm df}(x)$ pero $M$ satisfaría $\exists x\,\neg \mathop{\rm df}(x)$ , al contrario que $M_0\prec M$ .

(ii) La clase de elementos definibles puede formar un clase definible. Aunque no existe una definición uniforme de la clase de elementos definibles, a veces puede ocurrir que un modelo goce de cierta estructura que le permita ver su colección de elementos definibles como una clase definible. Por ejemplo, en un modelo definible puntualmente, la clase de elementos definibles incluye todos los objetos y está por lo tanto, se define por la fórmula $x=x$ . Véase también (iv) y (v) más abajo.

(iii) La colección de elementos definibles podría no formar una clase. Considere cualquier modelo $M\satisfies\ZFC$ y que $N$ sea una ultrapotencia de $M$ por un ultrafiltro sobre los números naturales. Los elementos definibles sin parámetros de $N$ son necesariamente contenidas en el rango del mapa de ultrapoderes, y en particular, no incluyen ninguno de los nuevos números naturales no estándar no estándar. Así, la clase de elementos definibles de $N$ no es susceptible de $N$ porque revelaría que su número natural no está bien fundamentado.

(iv) Los elementos definibles pueden formar un en un modelo sin función de clase $r\mapsto\psi_r$ asignar los elementos definibles a las definiciones. Supongamos que que $M$ es un modelo definible puntualmente de $\ZFC$ . Los elementos definibles de $M$ son todos de $M$ , que es ciertamente una clase definible en $M$ . Pero $M$ no puede tener una función $r\mapsto\psi_r$ asociando a cada elemento $r$ de $M$ o incluso a cada real de $M$ una fórmula definitoria $\psi_r$ , ya que dicho mapa revelaría a $M$ que tiene sólo un número contable de reales.

(v) Los elementos definibles pueden ser un conjunto en un modelo que sí tiene un mapa de definibilidad $r\mapsto\psi_r$ . Supongamos que $\kappa$ es un cardenal inaccesible (este hipótesis puede ser reducida), y observar por un argumento de Lowenheim-Skolem que hay numerosos $\gamma<\kappa$ con $V_\gamma\prec V_\kappa\satisfies\ZFC$ . De ello se desprende que los elementos definibles elementos de $V_\kappa$ están todos en $V_\gamma$ y satisfacen las mismas definiciones que en $V_\kappa$ . Desde $V_\gamma$ es un conjunto en $V_\kappa$ podemos construir en $V_\kappa$ la función $r\mapsto \psi_r$ que mapea cada elemento definible $r$ de $V_\gamma$ a la definición más pequeña $\psi_r$ de ella, y porque $V_\gamma\prec V_\kappa$ esta función tiene la misma propiedad con respecto a $V_\kappa$ como se desee. La hipótesis del gran hipótesis cardinal puede reducirse; basta con tener un $\omega$ -modelo $M$ con algunos $M_0\in M$ teniendo $M_0\prec M$ .

(vi) Ningún modelo puede tener un definible definibilidad mapa $r\mapsto\psi_r$ . Si dicho mapa fuera definible, entonces ya que sólo hay un número contable de definiciones $\psi_r$ , podríamos diagonalizar fácilmente contra él para producir un real definible no en el dominio del mapa. En (v), el es definible desde el parámetro $\gamma$ .

El contenido superviviente del argumento matemático parece ser la observación de que en cualquier modelo con acceso a un mapa de definibilidad $r\mapsto\psi_r$ , los reales definibles hacen no agotan todos los reales.