Ejercicio 6.5 del libro de Humphrey sobre álgebras de Lie

Question

Estoy tratando de resolver Ejercicio 6.5 parte 4 en la obra de James Humphreys Introducción a las álgebras de Lie y a la teoría de la representación . He añadido el (deberes) tag porque mi pregunta es sobre un ejercicio, pero esto no es realmente una tarea, realmente estoy buscando una prueba del enunciado. De todos modos, este es el ejercicio:

Ejercicio 6.5. Un álgebra de Lie $L$ para lo cual $\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad}\Rad(L)=Z(L)$ se llama reductor . (Ejemplos: $L$ abeliana, $L$ semisimple, $L=\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}\gl(n,\newcommand{\HF}{\mathbb F}\HF)$ .)

1. Si $L$ es reductora, entonces $L$ es un elemento completamente reducible $\DeclareMathOperator{\ad}{ad}\ad(L)$ -módulo. [Si $\ad(L)\ne 0$ usar el Teorema de Weyl]. En particular, $L$ es la suma directa de $Z(L)$ y $[LL]$ con $[LL]$ semisimple.
2. Si $L$ es un álgebra de Lie lineal clásica (1.2), entonces $L$ es semipresente
3. Si $L$ es un elemento completamente reducible $\ad(L)$ -módulo, entonces $L$ es reductora.
4. Si $L$ es reductora, entonces todas las representaciones de dimensión finita de $L$ en el que $Z(L)$ está representado por endomorfismos semisimples son completamente reducibles.

Lo que he probado hasta ahora: Escribe $R=\Rad(L)$ para el radical de $L$ y $Z=Z(L)$ para el centro de $L$ .

Dejemos que $\rho:L\to\gl(V)$ sea una representación de dimensión finita de $L$ tal que $Z$ actúa por endomorfismos semisimples de $V$ . Sea $K:=[LL]$ Así que $L=K\oplus Z$ por la parte (1). Para cualquier $x\in L$ y $y\in Z$ , $$ 0=\rho[xy]=[\rho(x)\rho(y)]=\rho(x)\rho(y)-\rho(y)\rho(x), $$ así que $\rho(x)$ y $\rho(y)$ de viaje. En particular, todos los elementos de $\rho(Z)$ conmutan, por lo que podemos diagonalizar simultáneamente todas ellas. En otras palabras, existe una base $v_1,\ldots,v_r$ de $V$ de manera que cada $v_i$ es un vector propio para cada endomorfismo en $\rho(Z)$ .

Por lo tanto, la representación $\rho|_Z:Z\to\gl(V)$ se descompone completamente en estos eigespacios. Por otro lado, $K$ es semisimple, por lo que $\rho|_K:K\to \gl(V)$ también se descompone completamente por el Teorema de Weyl. Dejemos ahora que $W$ sea cualquier $L$ -submódulo de $V$ . Entonces, $W$ es, en particular, un $K$ y un $Z$ -módulo mediante la restricción. Por lo tanto, $W$ tiene un $K$ -complementar $U$ en $V$ . Queremos demostrar que $U$ est $Z$ -invariante.

Por cada $i$ existe alguna $\lambda\in\HF$ tal que $$ y.(x.v_i)=x.(y.v_i)=x.(\lambda v_i)=\lambda(x.v_i), $$ así que $x.v_i$ es un vector propio de $\rho(y)$ . Por lo tanto, cualquier $x\in L$ envía los vectores propios a los vectores propios.

Aquí, estoy atascado. No veo cómo concluir de lo anterior que $U$ es invariante bajo la acción de $Z$ - todo ello teniendo en cuenta que quizás todo este planteamiento es inútil y necesito otro diferente.

Answer 1

El problema con su enfoque es que $W$ puede tener más de una $K$ -complemento (piense en el caso $K=0$ ) y no todos los complementos pueden ser $Z$ -invariante. Así que es mejor hacerlo al revés: Como has dicho, hay una base de $V$ tal que cada elemento de esta base es un vector propio para cada $\rho(z)$ . Sea $v$ sea un vector propio de este tipo, de modo que para cada $z\in Z$ hay $\alpha(z)\in \mathbb{F}$ tal que $z.v= \alpha(z)v$ . El mapa $\alpha\colon Z\to \mathbb{F}$ es lineal. Establece $$ V_{\alpha} = \{v\in V \mid z.v = \alpha(z)v \quad\text{for all } z\in Z \}.$$ Desde $\rho(Z)$ es simultáneamente diagonalizable, tenemos que $$ V= \bigoplus_{\alpha} V_{\alpha}, $$ donde $\alpha$ recorre los mapas lineales $\alpha\colon Z\to \mathbb{F}$ . (Por supuesto, $V_{\alpha}=0$ para todos los casos, excepto para un número finito de $\alpha$ 's.)
El $V_{\alpha}$ son $L$ -invariante: para $v\in V_{\alpha}$ , $z\in Z$ y $x\in L$ tenemos $$ z.(x.v) = x.(z.v)+[z,x].v = x.(z.v) = x.(\alpha(z)v)=\alpha(z)(x.v), $$ así que $x.v\in V_{\alpha}$ .
Por último, cada $V_{\alpha}$ se descompone como una suma directa de irreducibles $K$ -submódulos. Los submódulos de $V_{\alpha}$ son $Z$ -invariante, ya que $Z$ actúan como escalares en $V_{\alpha}$ . Esto da la descomposición deseada de $V$ en irreducibles $L$ -submódulos.