Múltiples contraíbles de dimensión $n\le 2$

Question

Tengo que dar una charla sobre el colector Whitehead. Me gustaría destacar el hecho de que es el primer ejemplo dado de una variedad abierta (es decir, no compacta) contráctil que no es homeomorfa a $\mathbb{R}^n$ (cuando $n=3$ ). Esto ocurre porque la variedad de Whitehead no está simplemente conectada en el infinito y, como demostró Stallings, esto equivale a no ser homeomorfa a $\mathbb{R}^n$ . El primer ejemplo de este tipo se produce en la dimensión $3$ porque, según he leído en muchos artículos, la única colmena contráctil (hasta el homeomorfismo) de dimensión $n\le 2$ son: $$\begin{equation*}\{\text{pt.}\} \quad \mathbb{R} \quad \mathbb{R}^2 \end{equation*}$$ Estoy pensando en una prueba de esta clasificación y tengo problemas con la dimensión $2$ . Así que tengo las siguientes preguntas:

Pregunta 1

¿Pueden sugerirme alguna referencia para la clasificación en dimensión $2$ con una prueba detallada?

Pregunta 2

¿Es el resultado de Stalling mencionado anteriormente válido para un $n$ -o ¿tenemos que exigir que sea contráctil?

Answer 1

Olvida la compactación de un punto, es un callejón sin salida. En el momento en que se demuestra que una vecindad del infinito se parece a $[0,\infty) \times S^1$ (que es lo que necesitarías para ver que la compactación de 1 punto es un colector) ya estás más o menos hecho.

Teorema: Si $\Sigma$ es una superficie abierta con $H_1(\Sigma; \Bbb F_2) = 0$ entonces $\Sigma$ es homeomorfo a $\Bbb R^2$ .

Esbozo de prueba.

(1) Primero demuestre que $\Sigma$ tiene exactamente un extremo; si $K \subset \Sigma$ es un subconjunto compacto, entonces $\Sigma \setminus \text{int}(K)$ puede tener muchas componentes conectadas, pero sólo una de ellas es no compacta. La prueba será por contrapositiva: si $\Sigma$ tiene dos extremos, demuestre que $H_1(\Sigma; \Bbb F_2) \neq 0$ . Deberá saber que la inclusión $\partial \Sigma \to \Sigma$ es distinto de cero en la primera homología siempre que $\Sigma$ es una superficie no compacta con límite.

(2) Utiliza eso $\Sigma$ tiene un agotamiento compacto --- $\Sigma = \bigcup \Sigma_n$ , donde $\Sigma_n$ es una superficie compacta y $\Sigma_n \subset \text{int}(\Sigma_{n+1})$ para que $\Sigma_{n+1} = \Sigma_n \cup S_n$ , donde $S_n$ también es una superficie compacta. Esto puede justificarse utilizando el hecho de que $\Sigma$ tiene una función suave adecuada para $\Bbb R$ junto con el teorema de Sard.

(3) Utilizando (1) y (2) conjuntamente, observe que $\Sigma \setminus \text{int}(\Sigma_n)$ sólo tiene una pieza no compacta. Modifique su agotamiento compacto para que $\Sigma \setminus \Sigma_n$ está conectada y por lo tanto $S_n$ está conectado.

(4) Demostrar que $\partial \Sigma_n$ es un solo círculo, ya que de lo contrario $\Sigma$ tiene género positivo (pegará un pantalón como $S_n$ porque $S_n$ está conectado), lo que implicaría $H_1(\Sigma;\Bbb F_2) \neq 0$ ; de nuevo esto implica un trabajo de Mayer-Vietoris.

(5) Demostrar que cada $\Sigma_1$ es un disco y cada $S_n$ es un cilindro. De aquí se deduce que $\Sigma \cong \Bbb R^2$ .

Los detalles no son del todo triviales, en particular en (3). No veré ni responderé a los comentarios, así que siéntete libre de editar esta respuesta como desees. Esto da una estrategia aproximada para la clasificación general de las superficies no compactas sin límite, las ideas se simplifican cuando $\Sigma$ es contraíble de esta manera; de forma similar se puede demostrar que si $H_1(\Sigma)$ es finito, entonces $\Sigma$ se obtiene borrando un número finito de puntos de una superficie cerrada.