Algo de ayuda con la pregunta 8.b, capítulo 2.3, O'Neil's Intro to Dif. Geometría

Question

Este ejercicio establece lo siguiente:

" Para una curva de velocidad unitaria $\beta(s) = (x(s),y(s)) \in \mathbb{R}^2$ El unidad tangente es T = $\beta' = (x',y')$ como siempre, pero el unidad normal N está definido por una rotación de T de 90 grados (es decir: N =(-y',x')), por lo que N y T son colineales, y la curvatura del plano $\kappa$ de $\beta$ se define por $T' = \kappa\ N$ . El $\textit{slope angle } \phi(s)$ de $\beta$ es la función diferenciable tal que

$$T = (\cos(\phi), \sin(\phi)) = \cos(\phi)U_x + \sin(\phi)U_y$$

Demostrar la existencia de $\phi$ . (Considere $f,g:I\subset\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}$ funciones diferenciables en $I$ , asuma que $f^{2}+g^{2}=1$ y la existencia de $\theta_{0}$ s.t. $f(0)=\cos\theta_{0}$ , $g(0)=\sin\theta_{0}$ . Si $\theta$ es la función s.t. $\theta(t)=\theta_{0}+\int_0^t(fg^{\prime}-gf^{\prime})du$ . Prueba $f=\cos\theta$ , $g=\sin\theta$ , mostrando $\theta$ es diferenciable, definida inequívocamente en $I$ )."

Estoy perdido. ¿Puede alguien darme una pista? ¿Qué sentido tiene la sugerencia entre paréntesis? Gracias.

Answer 1

Tomo el dominio de $\beta$ para ser el intervalo $I$ . La función $T:I\rightarrow \mathbb{R}^2$ es diferenciable. Como $\beta$ es la velocidad de la unidad, por lo que $Im(T)\subseteq \mathbb{S}^1$ . Por lo tanto, para cada $s\in I$ Tendremos $T(s)\in \mathbb{S}^1$ y por lo tanto debe existir algún ángulo $\phi_s$ (dependiendo de $s$ por eso he añadido un subíndice _s) tal que $T(s)=e^{i\phi_s}$ . La pregunta ahora es si podemos elegir el ángulo $\phi_s$ para que dependa diferencialmente de $s$ . Esto es lo que el libro quiere que demuestres. La insinuación del libro es que demuestres la afirmación de abajo:

Reclamar: Que $f,g: I\rightarrow \mathbb{R}^2$ sea diferenciable de forma que $f^2+g^2=1$ se mantiene en todos los $I$ entonces existe una función angular diferencialbe $\theta:I\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $(f+ig)=e^{i\theta}$

Prueba:

1. Tome $\theta$ como se define en la pista que da su libro.

2. Demostrar que $(f+ig)$ , $e^{i\theta}$ son ambas soluciones de la EDO lineal $x'=i(fg'-gf')x$ (Donde $x$ es una función con dominio $I$ y codominio $\mathbb{C}$ , la multiplicación denota la multiplicación compleja). $(f+ig),e^{i\theta}$ tienen la misma condición inicial por lo que deben ser iguales por el teorema de unicidad de las EDOs