En el marco newtoniano, basta con resolver la integral $$\int{ \frac{ G \rho_{(r)}}{|\vec{r} - \vec{r}_o|^2} \frac{\vec{r} - \vec{r}_o}{|\vec{r} - \vec{r}_o|}}dV$$ para el volumen en cuestión, donde $\vec{r}$ es la distancia desde un punto de referencia arbitrario al elemento de la materia donde la densidad es $\rho_{(r)}$ y $\vec{r}_{o}$ la distancia desde el mismo punto de referencia hasta la posición donde se encuentra el valor de la fuerza gravitatoria. Y las respuestas serían:
1) Suponiendo que te refieres a apretar la Tierra en forma de esfera en una forma de disco, obtendrías: $$\int{ \frac{ G\sigma_{(r)}}{|\vec{r} - \vec{r}_o|^2}\frac{\vec{r} - \vec{r}_o}{|\vec{r} - \vec{r}_o|}}dS$$ donde si estás cerca del centro de este disco, podrías suponer que es una superficie infinita y no tener en cuenta los efectos de los bordes. También asumiendo que es constante $\sigma_{(r)}=\sigma_o$ eligiendo nuestro punto de referencia en la superficie, y el punto de interés a una altura $h$ sobre el plano, las condiciones de simetría con respecto a $\theta$ rendimientos: $$\int_{h}^{\infty}{ \frac{ \pi\sigma_oGh }{r^2} }dr = \pi\sigma_oG $$ ¡Un valor constante! Esto es típico de los campos que dependen de la distancia inversa al cuadrado. Además, dado que $\sigma_o = \frac{M_T}{\pi R_T^2}$ , donde $M_T$ y $R_T^2$ son, respectivamente, la masa y el radio de la Tierra (del disco, que intencionadamente he elegido igual que el radio de la esfera), obtenemos
$$\pi\sigma_oG = G \frac{M_T}{R_T^2}$$
La fuerza en la superficie del disco terrestre (y a diferencia de la esfera terrestre, en cada punto sobre ella) es el mismo valor en la superficie de la esfera terrestre.
2) Te dejaré los cálculos, utilizando la misma primera fórmula, pero verás que efectivamente en el fondo de la Fosa de las Marianas deberías sentir una fuerza de atracción menor. De hecho si abres un agujero en la Tierra la intensidad de la fuerza disminuiría linealmente con la distancia al centro. La razón de esto es que dentro de las cáscaras de masa la atracción de sus diferentes partes se compensa entre ellas, como puedes ver por ti mismo si resuelves la integral para encontrar la fuerza en un punto dentro de una cáscara de masa. Pero sólo por simetría, ves que en el centro de una cáscara de masa esférica la fuerza debe ser nula, ¿no?
