Tenga en cuenta que estas preguntas son lo mismo que preguntar si los $a_i$ , $b_i$ puede satisfacer $\sum_{k=1}^\infty a_kx^{b_k}=0$ para todos $x$ (o para $x>1$ ). Esto supone que las series convergen absolutamente, por lo que podemos combinarlas. Si no estamos asumiendo la convergencia absoluta, entonces podemos demostrar la convergencia absoluta asumiendo que la $b_i$ son positivos (esto puede relajarse un poco, pero no eliminarse).
Suponiendo que el $b_i$ son estrictamente decrecientes, podemos responder de la siguiente manera. Supongamos que la serie converge absolutamente para $x\ge A$ (que tal $A> 1$ existe se mostrará al final). Sin pérdida de generalidad, supongamos $a_1\ne 0$ . Para $x\ge A$ tenemos $$0=a_1 x^{b_1}+\sum_{n=2}^\infty a_nx^{b_n}$$ Así que resolvemos para $a_1$ y tomar valores absolutos $$|a_1|\le x^{-b_1}\sum_{n=2}^\infty |a_n|x^{b_n}=x^{-b_1+b_2}\sum_{n=2}^\infty |a_n|x^{b_n-b_2}$$ Desde el $b_i$ son estrictamente decrecientes, tanto $-b_1+b_2$ y $b_n-b_2$ son negativos (o cero, para $n=2$ ), por lo que para $x\ge A$ , $x^{b_n-b_2}\le A^{b_n-b_2}$ . Por lo tanto, para $x\ge A$ , $$|a_1|\le x^{-b_1+b_2}\sum_{n=2}^\infty |a_n|A^{b_n-b_2}$$ Desde $x$ puede ser arbitrariamente grande, esto implica que $a_1=0$ . Contradicción.
Ahora demostramos la existencia de tal $A$ . Supongamos que la serie converge en $x_0$ . Arreglar $\epsilon>0$ y establecer $$x_n=x_0e^{\log(n^{-(1+\epsilon)})/b_n}$$ Entonces $$|a_n|x_n^{b_n}=|a_n|x_0^{b_n}(x_n/x_0)^{b_n}\le (|a_n|x_0^{b_n})n^{-(1+\epsilon)}$$ Set $A=\lim\sup_n x_n$ . Dado que la serie converge en $x_0$ Los términos $|a_n|x_0^{b_n}$ están acotados, por lo que la serie convergerá absolutamente para $x\ge A$ . A priori, $A$ podría ser infinito. Pero esto no ocurrirá ya que el $b_n$ son decrecientes y positivos.
