El pequeño teorema de Fermat aplicado para $n$ 'la existencia de la raíz $\!\bmod p$

Question

Necesito demostrar que no existe ninguna $k \in \mathbb{Z}$ que satisface $41 \mid (k^5-2)$ . ¿Puedo aplicar el Pequeño Teorema de Fermat para demostrarlo de alguna manera? ¿Cómo?

Lo único que se acercó cuando estaba pensando fue que $$41 \mid (k^5-1)(k^5+1)(k^{10}+1)(k^{20}+1)$$ (porque $41\mid (k^{40}-1)$ por el Pequeño Teorema de Fermat), pero de ahí no pude concluir nada. Gracias.

Answer 1

Usando lo que has probado, primero nota $41 \mid (k^5 - 2) \implies k^5 \equiv 2 \pmod{41}$ . Además, para cualquier $k$ entonces $41$ (siendo primo) debe dividir al menos uno de $k^5 - 1$ , $k^5 + 1$ , $k^{10} + 1$ y $k^{20} + 1$ . Sin embargo, $k^5 - 1 \equiv 2 - 1 = 1 \pmod{41}$ , $k^5 + 1 \equiv 2 + 1 \equiv 3 \pmod{41}$ , $k^{10} + 1 \equiv (2)^2 + 1 \equiv 5 \pmod{41}$ y $k^{20} + 1 \equiv 2^{4} + 1 \equiv 17 \pmod{41}$ . Por lo tanto, ya que $41$ no divide ninguno de esos factores, no puede haber ninguna $k$ .

Alternativamente, suponga que hay un $k \in \mathbb{Z}$ tal que $41 \mid (k^5 - 2)$ . Entonces esto también significa que

$$k^{40} = (k^5)^8 \equiv 2^8 = 256 \equiv 10 \pmod{41} \tag{1}\label{eq1A}$$

Sin embargo, como $41 \not\mid k$ y $41$ es primo, entonces El pequeño teorema de Fermat afirma que $k^{40} \equiv 1 \pmod{41}$ que se contradice con \eqref {eq1A}. Por lo tanto, no hay tal $k$ .