Un restaurante tiene 15 mesas. Teniendo en cuenta que el 70% de los comensales reservados se presentan, ¿cuántas reservas se pueden hacer para limitar el riesgo de overbooking?

Question

Tengo este problema con el que necesito ayuda.

"Un restaurante tiene 15 mesas, y se sabe que el 70% de los comensales que que reservan se presentan realmente. Para compensar esto, el restaurante restaurante tiene la política de aceptar más de 15 reservas, con lo que corre el riesgo de quedar desbordado. ¿Cuántas reservas pueden aceptar para limitar este riesgo a un 5% como máximo".

Estoy tratando de resolver el problema de la siguiente manera, por favor, explique donde mi reasoing va mal.

Si consideramos que cada persona (reservada) que puede presentarse es un ensayo Bernoulli, que denotamos $Y_i$ podemos observar que $P(Y_i = 1) = 0.7 \forall i=1,2,...,N$ , donde $N$ es el número de ensayos de nuestro "experimento". Si ahora consideramos $X$ para ser el número de ensayos sucesivos (es decir, el número de invitados que realmente se presenta) $X$ es claramente una distribución binomial con parámetros $n=N$ y $p=0.7$ . Ahora queremos encontrar el número de ensayos, $N$ (es decir, el número de reservas).

Por lo tanto, sabemos que $E[X]=$ "El número de invitados que se espera que aparezca" debería satisfacer $E[X] \leqq 15 + 15*0.05$ (creo que es aquí donde estoy haciendo algo mal) y porque sabemos que (para la distribución binomial) $E[X] = Np$ podemos simplemente resolver para N. Esto da el número de reservas para ser menos de 22,5. El libro dice que la respuesta debería ser 17. ¿Qué estoy haciendo mal?

Gracias.

Answer 1

Usted quiere $P(X \le 15) \ge .95,$ donde $X \sim \mathsf{Binom}(n, .7).$ En el software estadístico R pnorm es una CDF binomial. (Ignorar los paréntesis [ ] .)

n = 15:20;  p.ok = pbinom(15, n, .7)
cbind(n, p.ok)
      n      p.ok
[1,] 15 1.0000000
[2,] 16 0.9966767
[3,] 17 0.9807249
[4,] 18 0.9400478
[5,] 19 0.8668290
[6,] 20 0.7624922

Parece que el 17 es seguro y el 18 no.

Si no puede o no quiere utilizar software, bastará con una aproximación normal con corrección de continuidad. Si $n = 17$ y $p = .7,$ entonces $$P(X \le 15.5) = P\left(\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \le \frac{15.5-17(.7)}{\sqrt{17(.7)(.3)}}\right) \approx P(Z \le 1.91) = 0.9719.$$ Así que 17 es seguro, y entonces podrías probar con 18 (que da alrededor de 0,93, y por tanto no es seguro).

De forma más general, utilizando una aproximación normal, se necesita $n$ tal que $\frac{15.5-.7n}{\sqrt{.21n}} > 1.645.$