Campo vectorial invariante por acción de grupo

Question

En un ejercicio resuelto, hay un punto en la solución que no puedo resolver. Agradecería que alguien me diera los pasos detallados.

Consideremos el haz principal trivial $P = M\times U(1)$ sobre un $C^\infty$ -manifold $M$ . Sea $\Phi_t$ sea el flujo de un campo vectorial $\mathfrak{X}(P)$ .

Aparentemente, si $R_z$ designa la acción de grupo de $z \in U(1)$ en $M$ , $X$ est $U(1)$ -invariante ( $R_z \cdot X=X$ ) si y sólo si $R_z$ se desplaza con $\Phi_t$ ( $R_z \circ \Phi_t= \Phi_t \circ R_z$ ). ¿Puede alguien confirmar esto y ayudarme con la prueba?

Gracias,

JD

Answer 1

Esto es cierto.

De forma más general, dejemos que el grupo de Lie $G$ actúan sobre un colector $M$ de la derecha. Entonces un mapa suave $f:M \rightarrow M $ se llama $G$ -equivariante si $f$ preserva la acción de $G$ en $M$ es decir, $f\circ R_g=R_g\circ f $ para todos $g\in G$ . Ahora, supongamos que $X$ es un campo vectorial en $M$ y $\Phi_t$ denota su grupo de un parámetro. Queremos demostrar que $X$ est $G$ -si y sólo si cada $\Phi_t$ est $G$ -equivariante.

Tomando la derivada de $\Phi_t(p.g)=\Phi_t(p).g$ con respecto a $t$ y dejar que $t=0$ implica que $X(p.g)=dR_g(X(p))$ lo que significa que $X$ est $G$ -invariante. Lo contrario también es válido.