Resolver dos preguntas sobre combinaciones

Question

Recientemente he aprendido las permutaciones y combinaciones. Mientras practicaba, no pude resolver estas dos preguntas:

¿De cuántas maneras puede dividirse un grupo de 14 personas que comen en un restaurante entre 3 mesas de 6, 5 y 3 comensales?

Esto es lo que hice. Así que lo hice:

  14C6 + (14 - 6)C5 + 3C3
= 14C6 + 8C5 + 3C3
= 5369

Pero la respuesta era en realidad, 168168.

También,

Un grupo de 12 invitados a una boda deben viajar como pasajeros desde la iglesia hasta la recepción. Hay 3 coches: negro, plateado y azul. En cada coche caben 4 pasajeros. Encuentra el número de formas en que puede viajar el grupo si Alice y Jack se niegan a viajar en el mismo coche.

Así que calculé de cuántas maneras podrían arreglarse los pasajeros con el posible encuentro de Alice y Jack.

  12C4 + (12 - 4)C4 + 4C4
= 12C4 + 8C4 + 4C4
= 566

Entonces no estaba seguro de qué hacer después.

¿Podría alguien decirme qué estoy haciendo mal y cómo continuar a partir de la segunda pregunta?

Gracias de antemano.

Answer 1

En la primera hay que tomar el producto y no la suma de esos coeficientes binomiales (ver el Regla del producto ) $$\binom{14}{6}\binom{14-6}{5}\binom{14-6-5}{3}=\binom{14}{6}\binom{8}{5}\binom{3}{3}=168168.$$ En cuanto a la segunda, esta es mi pista. Tenemos $\binom{12-2}{3}$ formas de llenar el coche de Alice, $\binom{12-2-3}{3}$ formas de llenar el coche de Jack. El resto $4$ los invitados van en el otro coche. Ahora asigna el $3$ colores a la $3$ coches: El coche de Alice puede tener $3$ colores, el coche de Jack $3-1$ colores... ¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 2

Para el segundo problema, la solución es la siguiente :

Supongamos que Alice y Jack viajan en coche de la siguiente manera :

Supongamos que Alice va al vagón 1 y Jack al 2. El número de formas de organizar a las otras personas :

$\binom{10}{3} * \binom{10-3}{3} * \binom{10-3-3}{4} = 4200$ .

En realidad, el número de vías es el mismo para el resto de los casos, es decir $(A2, J1), (A2, J3), (A3, J2), (A1, J3), (A3, J1)$ . donde $A_i = $ Alice va al coche $i$ y $J_i = $ Jack va al coche $i$ .

Dado que estos eventos conducen independientemente a la respuesta final, aplicamos la regla de la adición y la respuesta final es

$4200 + 4200 + 4200 + 4200 + 4200 + 4200 = 25200$ .