demostrar que usando el teorema del límite uniforme

Question

Dejemos que $y=(\eta_j),\eta_j\in \mathbb C$ sea tal que $\sum \xi_j\eta_j$ converge para cada $x=(\xi_j)\in c_0$ donde $c_0\subset l^\infty$ es el subespacio de todas las secuencias complejas que convergen a cero. Demuestre que $\sum |\eta_j| < \infty$

utilizando el teorema ( Sea (Tn) una secuencia de operadores lineales acotados Tn:X->Y de un espacio de Banach X a un espacio normado Y tal que T(n)x está acotado para todo xX,digamos ,Absolutamente (T(n)x) menor o igual que cx, donde cx es número real. Entonces la secuencia de las normas T(n)está acotada, es decir, existe un c tal que Absolutamente (T(n)) es menor o igual que c)

Esta pregunta en el libro Introductory Functional Analysis with Applications página 255 pregunta (10)

Answer 1

En primer lugar, suponemos que $\eta_j$ son números reales. Definir para un número entero $n$ y $a\in c_0$ , $$T_n(a):=\sum_{j=1}^n\eta_ja_j.$$ Entonces $T_n$ es una función lineal acotada en $c_0$ . Tomando para $j\leqslant n$ , $a_j=\operatorname{sgn}(a_j)$ y $a_j=0$ si $j\gt n$ podemos ver que $\lVert T_n\rVert=\sum_{j=1}^n|\eta_j|$ . La conclusión deseada se desprende del principio de acotación uniforme.

En el caso general, escriba $\eta_j=b_j+ib'_j$ , donde $b_j$ y $b'_j$ son números reales y utilizar el razonamiento anterior con $(b_j)_{j\geqslant 1}$ y $(b'_j)_{j\geqslant 1}$ .