Para $g_1,g_2$ en grupo abeliano finito con $g_1\neq g_2$ , hay $\phi\in\mathrm{Hom}(G,\mathbb C^\times)$ tal que $\phi(g_1)\ne\phi(g_2)$

Question

Tengo problemas con el siguiente problema, tomado de Herstein's Temas de Álgebra 2ª edición:

Si $G$ es un grupo abeliano, sea $\hat G$ sea el conjunto de todos los homomorfismos de $G$ en el grupo de los números complejos no nulos bajo multiplicación. Si, $\phi_1,\phi_2\in \hat G$ , defina $\phi_1 \cdot \phi_2$ por $\phi_1 \cdot \phi_2(g) = \phi_1(g) \phi_2 (g)$ para todos $g \in G.$

Demuestre que, dado $G$ también es finito y $g_1\neq g_2$ están en $G$ Hay un $\phi \in \hat G$ con $\phi (g_1) \neq \phi (g_2)$ .

Ya he demostrado que $\hat G$ es abeliana y que para $\phi \in \hat G$ tenemos $\phi(g)$ una raíz de unidad para cada $g \in G$ . También sé que $G$ es isomorfo a $\hat G$ .

Lo que estoy demostrando básicamente es que cada $\phi \in \hat G$ es uno a uno. ¿Es eso correcto? ¿Cómo puedo aprovechar el hecho de que $G$ y $\hat G$ son isomorfos para demostrar que cada elemento de $\hat G$ es de hecho un isomorfismo?

Answer 1

Los pasos de una prueba pueden ser los siguientes:

1. Basta con demostrar que para $g\in G\setminus\{1\}$ existe $\phi$ tal que $\phi(g)\neq 1$ .

2. Basta con demostrar la afirmación para grupos cíclicos debido al teorema de la estructura para grupos abelianos generados finitamente.

3. Maneja el caso cíclico.