Encuentre todos los números reales x, y, z, u y v en $\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z-2}+\sqrt{u}+\sqrt{v}=x+y+z+u+v$

Question

Y gracias de antemano por sus respuestas. Perdón si el texto está mal formateado, soy nuevo aquí. De todos modos, aquí está la pregunta:

Encuentre todos los números reales x, y, z, u y v en $\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z-2}+\sqrt{u}+\sqrt{v}=x+y+z+u+v$

¿Podría utilizar el método de completar el cuadrado (estoy familiarizado con él) o hay alguna forma mejor?

Answer 1

SUGERENCIA.-Siempre has $2\sqrt{z-2}-z\le -1$ y $x-\sqrt x$ tiene su mínimo en $x=\frac 14$ siendo este mínimo igual a $-\frac 14$ . Desde $$2\sqrt{z-2}-z=(x-\sqrt x)+(y-\sqrt y)+(u-\sqrt u)+(v-\sqrt v)$$ se deduce que la única solución es $$(x,y,z,u,v)=(\frac14,\frac14,3,\frac14,\frac14)$$

Answer 2

Sí, puedes resolver tu ecuación completando los cuadrados. $$\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z-2}+\sqrt{u}+\sqrt{v}=x+y+z+u+v\tag{*1}$$ Para cada variable, resta su aparición en el LHS del término correspondiente en el RHS, tienes: $$ \begin{array}{rl} x - \sqrt{x} &= (\sqrt{x}-\frac12)^2 - \frac14\\ y - \sqrt{y} &= (\sqrt{y}-\frac12)^2 - \frac14\\ z - 2\sqrt{z-2} &= (\sqrt{z-2}-1)^2 + 1\\ u - \sqrt{u} &= (\sqrt{u}-\frac12)^2 - \frac14\\ v - \sqrt{v} &= (\sqrt{v}-\frac12)^2 - \frac14\\ \end{array} $$ Ahora suma ambos lados y compara el resultado con $(*1)$ se encuentra: $$\verb/RHS/(*1) - \verb/LHS/(*1) = (\sqrt{x}-\frac12)^2 + (\sqrt{y}-\frac12)^2 + (\sqrt{z-2}-1)^2 + (\sqrt{u}-\frac12)^2 + (\sqrt{v}-\frac12)^2$$ Esto lleva a $$\begin{cases} \sqrt{x} = \sqrt{y} = \sqrt{u} = \sqrt{v} = \frac12,\\ \sqrt{z-2} = 1 \end{cases} \quad\implies\quad (x,y,z,u,v) = \left(\frac14,\frac14,3,\frac14,\frac14\right)$$