Encuentra la intersección de los conjuntos dados

Question

Si $aN= \{ ax:x\in N \}$ entonces $3N\cap 7N$ =

Las opciones son a)3N b)7N c)N d)21N

Creo que la respuesta debería ser 3N ya que 7N contendría a 3N y tenemos que encontrar su intersección. Pero la respuesta es 21N, y no soy capaz de averiguar la razón de esa respuesta.

Answer 1

$7\mathbb{N}$ no contiene $3 \mathbb{N}$ ya que no hay $x \in \mathbb{N}$ tal que $3=7x$ Así que $3 \notin 7\mathbb{N}$

Deberías pensar en $k\mathbb{N}$ como el conjunto de múltiplos naturales de $k$

Entonces, como estar en la intersección significa estar en ambos conjuntos, ¿cómo llamamos a un número que es múltiplo de $3$ y $7$ ? Lo llamamos un múltiplo de $21$ ¿No es así?

Answer 2

Piénsalo así:

$3N=\{n:n\in N\land 3\mid n\}$

$7N=\{n:n\in N\land 7\mid n\}$

Para un dos conjuntos $A$ y $B$ , de tal manera que $A=\{a:\varphi(a)\}$ y $B=\{b:\psi(b)\}$ la intersección es $A\cap B= \{c:\varphi(c)\land\psi(c)\}$

Así que...

$$3N\cap7N=\{n:n\in N\land (3\mid n)\land (7\mid n)\}$$

Si $3$ divide $n$ y $7$ divide $n$ alors $n$ debe ser un múltiplo de $21$ (ya que $3$ y $7$ son primos y $21$ es su mínimo común múltiplo).

Por lo tanto, $3N\cap7N=21N$ .