Prueba $f$ , satisfaciendo $\left|f(x)-f(y)\right|\le K\left|x-y\right|^{\alpha}$ es constante. Estrategia de prueba.

Question

Dejemos que $\alpha>1, K>0$ y que $f:[0,1]\to \Bbb{R}$ satisfacer $$\left|f(x)-f(y)\right|\le K\left|x-y\right|^{\alpha}, \forall x,y\in [0,1].$$ Prueba $f$ es constante.

Lo que necesito básicamente es una estrategia de prueba. Tengo un intento:

Veamos $\lim_\limits{x\to y}|f(x)-f(y)|=K\lim_\limits{x\to y}|x-y|^{\alpha}$ . Desde $\lim_\limits{x\to y}|x-y|=0$ y como $\alpha >1, K>0,$ entonces desde algún punto que no sea $0$ , $K|x-y|^{\alpha}<|x-y|\to 0$ . (¿Cómo lo explico más formalmente?).

Es decir, cuando $x\to y$ , $|f(x)-f(y)|$ tiende a $0$ más rápidamente que $|x-y|$ hace. Es decir $\lim_\limits{x\to y}\left|{f(x)-f(y)\over x-y}\right|=0$ por todas partes, arrastrando $f$ es constante.

Answer 1

Dejemos que $y \in [0,1] \Rightarrow \displaystyle \lim_{x\to y} \left|\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \leq \displaystyle \lim_{x\to y}K|x-y|^{\alpha-1}\Rightarrow |f'(y)| = 0 \Rightarrow f'(y) = 0 \Rightarrow f = C$

Answer 2

Si no puedes asumir la diferenciabilidad, entonces deja que $|f(x)-f(y)| \gt \epsilon \gt 0$
Si $x_1,\dots ,x_n$ son números que dividen el segmento $[x,y]$ en $n+1$ segmentos iguales entonces tenemos $$|f(x)-f(y)| = |f(x)-f(x_1)+f(x_1)-f(x_2)+f(x_2) \dots -f(x_n)+f(x_n)-f(y)|$$ $$\le |f(x)-f(x_1)|+|f(x_1)-f(x_2)|+\dots +|f(x_n)-f(y)| \le (n+1)k\frac{|x-y|^\alpha}{(n+1)^\alpha}$$
Si tomamos $n$ lo suficientemente grande obtenemos $|f(x)-f(y)| \lt \epsilon$ que es una contradicción.