Lo primero que hay que decir es que la materia ordinaria no es estable. Supongamos que una roca del tamaño de una pelota de béisbol se encuentra en el vacío del espacio exterior en un futuro muy lejano, aislada por la expansión acelerada del universo dentro de su propio horizonte cosmológico. Incluso dentro del modelo estándar de la física de partículas, la roca acabará decayendo por efecto de la mecánica cuántica en formas de materia más estables. En escalas de tiempo extremadamente largas, se cree que el resultado será que se convertirá en un agujero negro microscópico, que luego se evaporará en otras partículas (principalmente fotones). (Se oye decir que éste es el destino final de todo materia en el universo, lo que en realidad no es correcto). Este tipo de cosas se discuten en Adams y Laughlin.
Has preguntado por la estabilidad del átomo de hidrógeno en varias teorías. Hay algunas razones para creer que el protón es inestable (busque en Google "decadencia del protón"), en cuyo caso el átomo de hidrógeno no es realmente estable. Sin embargo, es estable dentro de determinados modelos. Otros han señalado el documento de Lieb, que en la sección I presenta un argumento técnico específico sobre un tipo de estabilidad para átomos individuales según un modelo. El modelo es la ecuación de Schrodinger con un protón puntual.
En primer lugar, hay realmente dos cosas que se requieren para demostrar que el hidrógeno es estable en este modelo, y Lieb sólo se centra en una de ellas, que es la estabilidad frente a un colapso de la función de onda del electrón de modo que quede limitado dentro de una distancia arbitrariamente pequeña del protón.
El otro tipo de estabilidad que hay que demostrar es la estabilidad frente al escape del electrón. La estabilidad frente al escape no es trivial. Por ejemplo, la interacción entre dos neutrones es esencialmente atractiva y, sin embargo, se cree que el sistema de dos neutrones no está ligado. Esto se debe a que el alcance de la fuerza es muy corto (alrededor de $10^{-15}$ m). Si los neutrones estuvieran confinados a esa distancia unos de otros, tendrían que tener una gran energía cinética, por lo que saldrían volando. La razón por la que el hidrógeno está ligado es que la fuerza eléctrica es de largo alcance.
En cuanto a la estabilidad del hidrógeno frente al colapso, el argumento de Lieb es más complicado de lo necesario, porque asume de forma poco realista un protón puntual. Como los protones no son realmente puntuales, comprimir el electrón en un espacio arbitrariamente pequeño $\epsilon$ cerca del centro del protón da un campo eléctrico cuya energía diverge al infinito como $1/\epsilon$ . (Si el protón fuera puntual, entonces el campo externo llegaría a cero en este límite, por lo que este argumento fallaría).
Su pregunta sobre la teoría del campo cuántico es interesante. Creo que la forma más agradable de abordarla es observar las cantidades adimensionales y no adimensionales que se pueden formar a partir de los parámetros relevantes. La mayor parte de la física interesante puede entenderse en términos de dos de ellos. Está la constante de estructura fina, $\alpha=ke^2/\hbar c\approx 1/137$ y el radio de Bohr, $a_o=\hbar/mc\alpha$ , donde $m$ es la masa del electrón. En el hidrógeno, la velocidad típica del electrón es $\alpha c$ y como éste es pequeño comparado con c, no se necesita realmente la teoría cuántica de campos para el hidrógeno. La ecuación de Schrodinger, que es no relativista, es una excelente aproximación. Sin embargo, si haces un átomo parecido al hidrógeno que consiste en un núcleo con número atómico $Z$ más un solo electrón, la velocidad en unidades de $c$ es del orden de $Z\alpha$ . Para los grandes $Z$ Esto demuestra que se necesita la relatividad y la teoría del campo cuántico.
El radio de Bohr es la única cantidad que se puede formar aquí con unidades de longitud. Eso sugiere, sin necesidad de resolver explícitamente la ecuación de Schrodinger, que el hidrógeno no sólo no colapsa hasta un tamaño arbitrariamente pequeño (como demuestra el argumento de Lieb), sino que esperamos que alcance un cierto tamaño que es básicamente el radio de Bohr multiplicado por algún factor de orden unidad.
Adams y Laughlin, http://arxiv.org/abs/astro-ph/9701131
Lieb, Rev Mod Phys 48 (1976) 553, http://www.pas.rochester.edu/~rajeev/phy246/lieb.pdf
