Teorema del apretón: Si $s_n \leq t_n \leq u_n$ para todo n y si ambos $s_n \rightarrow L$ y $u_n \rightarrow L$ entonces $t_n \rightarrow L$ como $n \rightarrow \infty$ .
Así es como lo hice:
Dejemos que $N \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq N$ implica $|s_n -L| \lt \epsilon, |u_n-L| \lt \epsilon$ N corresponde a $\epsilon$ . Podemos reescribir esto como $-\epsilon \lt s_n -L \lt \epsilon$ y $-\epsilon \lt u_n-L \lt \epsilon$ .
Voy a tratar de demostrar que $-\epsilon \lt t_n-L \lt \epsilon$
Por la conservación del orden,
$s_n \leq t_n \leq u_n$
$-\epsilon \lt s_n-L \leq t_n-L \leq u_n-L \lt \epsilon$
Por lo tanto, podemos ver que
$-\epsilon \lt t_n-L \lt \epsilon$ o $|t_n -L| \lt \epsilon$ .
Así, $t_n \rightarrow L$ también.
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Debería ser $-\epsilon$ en los lados izquierdos (te faltó menos), pero aparte de esta errata me parece bien.
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He editado, ¡gracias por el comentario!
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Tal vez, me gustaría mencionar lo que el $\epsilon$ es, que es arbitrariamente pequeño $\epsilon >0$ ...pero eso probablemente sea evidente para cualquiera que esté familiarizado con las definiciones de límites...