¿Qué hay de malo en mi demostración de la inyectabilidad de la matriz exponencial en $\mathbb{R}$ ?

Question

Demostramos que para cualquier matriz cuadrática $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ la derivada de $x(t) = e^{tA}$ es $x'(t) = Ae^{tA}$ .

Supongamos que tenemos dos matrices $A,B$ tal que $e^{tA} = e^{tB}$ para todos $t \in \mathbb{R}$ . Entonces las derivadas de ambas funciones también deben ser iguales, es decir $Ae^{tA} = Be^{tB} = Be^{tA}$ . Entonces encontramos $Ae^{tA}e^{-tA} = Be^{tA}e^{-tA}$ y como $e^{tA}e^{-tA} = I_n$ obtenemos $A = B$ .

Esto debería demostrar la inyectividad de la exponencial matricial, pero he leído que la exponencial matricial es sobreyectiva (al grupo de matrices invertibles) pero no inyectiva. Sin embargo, casi todos los sitios que he visitado tienen que ver con grupos de Lie, y todavía estoy en mi primer año, así que no entendí mucho de lo que decían. ¿Es correcta la demostración anterior o he cometido algún error?

Answer 1

Resumiendo los comentarios: tu prueba está bien, pero no demuestra la inyectabilidad de la matriz exponencial. Lo que demuestra es que si $e^{tA} = e^{tB}$ para todos $t$ entonces $A = B$ pero para la inyectividad la hipótesis que se quiere es $e^A = e^B$ y no hay nada que diferenciar.