Una función con dominio que pide la suma de a+b+c+d

Question

Dejemos que $f$ sea una función tal que $$ \sqrt {x - \sqrt { x + f(x) } } = f(x) , $$ para $x > 1$ . En ese ámbito, $f(x)$ tiene la forma $\frac{a+\sqrt{cx+d}}{b},$ donde $a,b,c,d$ son números enteros y $a,b$ son relativamente primos. Encuentra $a+b+c+d.$

Answer 1

Dejemos que $y$ igual $f(x)$ . Por lo tanto, tenemos $$y=\sqrt{x-\sqrt{x+y}}\tag{1}$$ La repetición de la cuadratura de ambos lados nos da $$y^4-2xy^2-y+x^2-x=0\implies x^2+(-2y^2-1)+y^4-y=0\tag2$$ Y utilizando la fórmula cuadrática en $(2)$ obtenemos $$x=\frac {2y^2+1\pm(2y+1)}{2}\tag3$$ Simplificando $(3)$ nos da $$x_1=y^2+y+1\\x_2=y^2-y\tag4$$ Así que ahora, tenemos $2$ casos a tener en cuenta.

Caso 1: $x_1=y^2+y+1$

Cuando $x=y^2+y+1$ tenemos $$x+y=(y+1)^2\\\therefore \sqrt{x+y}=|y+1|$$ Como la raíz cuadrada de un número no puede ser menor que $0$ sabemos que $y\geq 0$ . Así, $y+1\geq 1$ y vemos que $\sqrt{x+y}=y+1$ . Al conectar eso de nuevo en $(1)$ nos da $$\sqrt{x-\sqrt{x+y}}=\sqrt {y^2}=y$$

Y de $(4)$ vemos que $$y=\frac {-1\pm\sqrt{4x-3}}{2}$$

Caso 2: $x_2=y^2-y$

Desde $\sqrt{x+y}=x-y^2$ , sustituyendo nos da $$\sqrt{y^2}=-y$$ que no tiene solución porque tomamos la $x$ valores mayores que $1$ . Por lo tanto, Caso 1 es correcto y $$a+b+c+d=2$$

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Usando el método de factorización que mencioné en los comentarios:

Desde $(1)$ lo convertimos en $$(y^2-y-x)(y^2+y-x+1)=0$$ que tiene raíces $$x=\frac {1\pm\sqrt{4x+1}}{2}\\x=\frac {-1\pm\sqrt{4x-3}}{2}$$ siendo esta última la respuesta correcta.

Answer 2

Dejemos que $y = f(x)$ . Nuestro primer objetivo es encontrar todos los pares de números reales $(x,y)$ que satisfacen [\sqrt{x - \sqrt{x + y}} = y.]Observamos que $y$ debe ser no negativo. Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos [x - \sqrt{x + y} = y^2,]por lo que [\sqrt{x + y} = x - y^2.]Elevando al cuadrado ambos lados de nuevo, obtenemos [x + y = x^2 - 2xy^2 + y^4,]por lo que [y^4 - 2xy^2 - y + x^2 - x = 0.]Esta es una ecuación cuártica en $y$ que no tiene soluciones obvias. Sin embargo, podemos reescribirla como una ecuación cuadrática en $x$ que podemos resolver: [x^2 - (2y^2 + 1)x + y^4 - y = 0.]Por la fórmula cuadrática, \begin{align*} x &= \frac{(2y^2 + 1) \pm \sqrt{(2y^2 + 1)^2 - 4(y^4 - y)}}{2} \\ &= \frac{(2y^2 + 1) \pm \sqrt{4y^4 + 4y^2 + 1 - 4y^4 + 4y}}{2} \\ &= \frac{(2y^2 + 1) \pm \sqrt{4y^2 + 4y + 1}}{2} \\ &= \frac{(2y^2 + 1) \pm \sqrt{(2y + 1)^2}}{2} \\ &= \frac{2y^2 + 1 \pm (2y + 1)}{2}, \end{align*} así que [x = \frac{2y^2 + 1 + 2y + 1}{2} = y^2 + y + 1,]o [x = \frac{2y^2 + 1 - (2y + 1)}{2} = y^2 - y.]Consideramos estas soluciones por separado.

Caso 1: $x = y^2 + y + 1$ .

En este caso, [x + y = y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2,]entonces [\sqrt{x + y} = |y + 1|.]Sabemos que $y \ge 0$ Así que $y + 1 \ge 1$ . Por lo tanto, $\sqrt{x + y} = y + 1$ . Entonces [x - \sqrt{x + y} = y^2 + y + 1 - (y + 1) = y^2,]entonces [\sqrt{x - \sqrt{x + y}} = \sqrt{y^2} = |y| = y.]Así, si $x = y^2 + y + 1$ entonces $(x,y)$ satisface la ecuación dada. También sabemos que $y \ge 0$ Así que $x \ge 1$ . A partir de la ecuación $x = y^2 + y + 1$ tenemos que $y^2 + y + 1 - x = 0$ por lo que por la ecuación cuadrática, [y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1 - x)}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4x - 3}{2}.]Ya que $y \ge 0$ debemos tomar la raíz con el signo más. Por lo tanto, [y = \frac{-1 + \sqrt{4x - 3}{2}. Caso 2: $x = y^2 - y$ .

Recordemos que también encontramos $\sqrt{x+y}=x-y^2.$ Sustituyendo $x=y^2-y$ da [\sqrt{y^2}=-y,]que sólo se satisface cuando $y=0$ , en cuyo caso $x = 0$ pero se nos da que $x > 0$ .

Concluimos que la función $f(x)$ viene dada por $$f(x) = \frac{-1 + \sqrt{4x - 3}}{2}.$$ Esto da $a = -1, b = 2, c = 4, d = -3,$ o $a+b+c+d = \boxed{ 2 }.$