Teorema de la curva de Jordan para un polígono simple (demostración elemental)

Question

Dejemos que $C$ sea un polígono simple (de Jordania) en el plano. Me gustaría demostrar el teorema de la curva de Jordan para $C$ utilizando un método elemental. Creo que podemos demostrarlo utilizando el número de enrollamiento (a través del análisis complejo) con respecto a $C$ . ¿Me equivoco?

Pregunta relacionada: Triángulo dentro de un subconjunto abierto simplemente conectado del plano complejo .

Answer 1

En efecto, se puede utilizar el número de enrollamiento definido por la integral de contorno para definir el interior y el exterior de una curva cerrada no autointersectiva a trozos en el plano complejo. Sin embargo, eso no es lo que yo llamaría elemental, y todavía se necesitan teoremas poderosos sobre el número de enrollamiento que probablemente se reducen a la curva de Jordan para un polígono... Básicamente, ¿cómo sabes que el número de enrollamiento es siempre $0$ o $1$ o $-1$ ? Demostrar que no puede ser ningún otro número entero es el núcleo intrínseco del teorema de la curva de Jordan.

Ver este puesto para una demostración elemental del teorema de la curva de Jordan para polígonos. Ahora podemos definir fácilmente el número de enrollamiento de un polígono alrededor de un punto de la siguiente manera. Si el punto está fuera del polígono, el número de enrollamiento es $0$ . Si el punto está dentro del polígono, el número de enrollamiento es la suma de los ángulos de giro, que puede demostrarse fácilmente que es $1$ o $-1$ vueltas completas ya que la suma de los ángulos internos es $(n-2)180^\circ$ .

Por cierto, hay una definición alternativa del número de enrollamiento que no implica el análisis complejo y funciona para curvas continuas arbitrarias, que esbozaré a continuación.

Dejemos que $C$ sea la curva en cuestión y $P$ sea un punto que no esté en $C$ . Por compacidad $C$ está contenido en un conjunto finito de discos abiertos que no contienen $P$ . Entonces podemos dividir $C$ en un número finito de secciones, cada una de las cuales está contenida en uno de esos discos, y definir el número de enrollamiento como el número de enrollamiento del polígono dado por los puntos entre secciones, que no es más que la suma de los ángulos dirigidos que forman los lados de la poligonal con respecto a $P$ .

Entonces podemos demostrar que el número de enrollamiento cambia continuamente como $P$ se mueve continuamente sin tocar $C$ y, por lo tanto, las regiones conectadas por el camino tienen el mismo número de bobinado. Del caso poligonal sabemos que sólo hay dos números de devanado posibles ignorando el signo, lo que significa que la curva general rectificable $C$ también divide el plano en dos regiones conectadas por trayectorias.