Aproximación del rango

Question

Dejemos que $$L(C,s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}$$ sea la serie Dirichlet de la función L de Hasse--Weil de una curva elíptica $C$ en $$. The modularity theorem implies that $ L(C,s) $ is the $ L$-función de una forma de cúspide holomorfa para un subgrupo de congruencia y es función entera y tiene una continuación holomorfa. También existe una series de rápida conversión $f(s)$ expresión $L(C,s)$ para cualquier número complejo $s$ dado en http://modular.math.washington.edu/books/bsd/ en la página 9.

Mi pregunta es: no entiendo la palabra medio (tal vez signifique que casi los casos son cero, no el número exacto de esos casos) en Sección 1.4.1. Aproximación del rango (...Tenga en cuenta que la mitad de los $L(k)(E, 1)$ son automáticamente $0$ debido a la ecuación (1.3.3)).

Answer 1

Aha, esto no es lo que pensé al principio: pensé que estarían hablando de la mitad de las curvas elípticas $E$ pero en realidad están hablando de la mitad de los derivados $L^{(k)}(E,1)$ como $k$ varía, para un $E$ .

(1.3.3) dice $$ (-1)^k \Lambda^{(k)}(E,2-s) = \epsilon\Lambda^{(k)}(E,s). $$ (He corregido una errata en la parte derecha). Aquí $\epsilon\in\{1,-1\}$ es alguna constante. En particular, estableciendo $s=1$ da $$ (-1)^k \Lambda^{(k)}(E,1) = \epsilon\Lambda^{(k)}(E,1). $$ Si $\epsilon=1$ entonces esta ecuación obliga a $\Lambda^{(k)}(E,1)=0$ para todos los impar $k$ . Si $\epsilon=-1$ , entonces obliga a $\Lambda^{(k)}(E,1)=0$ para todos incluso $k$ .