Comportamiento asintótico del área de un subconjunto plano bidimensional de $\mathbb{R}^3$

Question

Estoy interesado en el área del subconjunto plano de $\mathbb{R}^3$ definido por las siguientes ecuaciones con un parámetro $t>1$:

1. $x,y,z>0$ (octante positivo)
2. $x+y+z=t$ (ecuación del hiperplano)
3. $xyz<1$ (puntos por debajo de la superficie cúbica $xyz=1$)

Lo siento por no poder darte una bonita imagen. Pero puedo comentar la forma de este objeto. Las dos primeras condiciones definen un triángulo, y la tercera condición excava un agujero en este triángulo. Lo que me interesa es el comportamiento asintótico del área cuando $t\to+\infty$.

Una respuesta a esta primera pregunta ya sería muy buena. Una respuesta a la siguiente pregunta más general sería aún mejor. En $\mathbb{R}^d$, ¿cuál es el comportamiento asintótico cuando $t\to+\infty$ del volumen $(d-1)$ del conjunto definido por

1. $x_1,\ldots,x_d>0$
2. $x_1+\cdots+x_d=t$ (ecuación del hiperplano)
3. $x_1\cdots x_d<1$ (puntos por debajo de la hipersuperficie $x_1\cdots x_d=1$)

La descripción geométrica anterior se mantiene. Las primeras condiciones definen un $(d-1)$-simplejo. La última condición excava un agujero en este simplejo.

Si no tienes una respuesta completa, se agradecen ideas sobre cómo abordar estos cálculos.

Answer 1

Este es un informe de un intento fallido.

Usando la transformación que conserva el área

$$ \left(\begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\tfrac{1}{\sqrt{6}} & \sqrt{\tfrac{2}{3}} & -\tfrac{1}{\sqrt{6}} \\ \tfrac{1}{\sqrt{3}} & \tfrac{1}{\sqrt{3}} & \tfrac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 0 \\ \tfrac{t}{\sqrt{6}} \\ -\tfrac{t}{\sqrt{3}} \end{array}\right), $$

tu triángulo, definido por $x+y+z=t$ y $x,y,z>0$, se convierte en uno en el plano $u,v$ con vértices

$$ \left(\begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \pm \tfrac{t}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\ \left(\begin{array}{c} 0 \\ t \sqrt{\tfrac{3}{2}} \\ 0 \end{array}\right). $$

Esperaba que la condición $xyz < 1$ se simplificara, pero es

$$ \frac{t^2 v}{2 \sqrt{6}}-\frac{u^2 v}{\sqrt{6}}-\frac{t v^2}{3}+\frac{v^3}{3 \sqrt{6}} < 1. $$

Se podría, por ejemplo, resolver esto para $v$ y obtener una fórmula para la parte inferior del agujero redondeado en el triángulo, pero la expresión es bastante fea. Integrarla ---incluso de forma aproximada--- no parece ser muy divertido.