Naturaleza de las raíces de $x^2+2(a-1)x+(a-5)=0$

Question

Una ecuación cuadrática viene dada por $x^2+2(a-1)x+(a-5)=0$ entonces qué podría ser el posible valor de un si:

a) La ecuación tiene raíces positivas

b) La ecuación tiene raíces de signo contrario

c) La ecuación tiene raíces negativas

He intentado comprobar la naturaleza del discriminante pero no me lleva a ninguna parte.Puede alguien decirme el mejor procedimiento para tratar estas sumas.O pistas al menos.

Answer 1

La ecuación $f(x)=0$ con $f(x)=x^2+2(a-1)x+(a-5)$ tiene

1. (a) dos raíces positivas, si $f(0)>0$ y $f'(0)<0$
2. (b) raíces de signo contrario, si $f(0)<0$
3. (c) dos raíces negativas, si $f(0)>0$ y $f'(0)>0$

Esto se puede ver gráficamente, ya que $f$ es un polinomio cuadrático con signo positivo para $x^2$

Answer 2

Una pista:

Utilice el hecho de que, si $x_1$ y $x_2$ son las soluciones que $$ x_1+x_2=-2(a-1) \quad \land \quad x_1x_2=a-5 $$ Así que..:

$x_1=-x_2 \Rightarrow a-1=0$

$x_1>0$ y $x_2>0$ $\Rightarrow x_1x_2>0$ y $x_1+x_2>0$

y... ¿puede hacer de esto?