¿Es posible construir una curva plana no cerrada a partir de una curva espacial cerrada a través de la curvatura de esta última

Question

Estoy muy atascado en este problema.

Dejemos que $\alpha:[a,b]\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$ sea una curva parametrizada de longitud de arco suave y sea $\kappa:[a,b]\to \mathbb{R}$ sea su curvatura.

Sé por el "Teorema fundamental de la teoría local de las curvas" que, a grandes rasgos, asociada a cada función de curvatura suave distinta de cero y a cada función de torsión suave hay una única curva regular parametrizada, hasta los movimientos rígidos. En particular, definiendo una función de curvatura suave y distinta de cero, existe una única curva plana asociada.

Dejemos que $\beta:[a,b]\to\mathbb{R}^2$ sea la curva plana dotada de la curvatura $\kappa$ y supongamos que $\alpha(I)$ es una curva cerrada.

¿Es posible que $\beta(I)$ ser una curva no cerrada?

He intentado leer un artículo llamado "Un criterio diferencial-geométrico para que una curva espacial sea cerrada", el autor es Hwang Cheng-Chung. Pero no sé cómo aplicarlo a mi problema.

Answer 1

Incluso si $\alpha$ es una curva plana creo que se pueden dar ejemplos cuando $\beta$ no está cerrado.

Diga $\alpha$ puede contener algunos segmentos de línea recta, cada uno de ellos seguido de un giro. Un segmento recto puede ir seguido de un giro a la izquierda o a la derecha. Sea $\beta$ "copia" $\alpha$ , excepto en una sola vuelta, donde digamos $\alpha$ gira a la derecha, y $\beta$ hace un giro a la izquierda, con la misma curvatura que $\alpha$ . Supongo que su curvatura es siempre no negativa (por lo que no es una curvatura con signo).

Así que, como $\beta$ se equivocó de camino, no termina donde $\alpha$ extremos, por lo que no se cierra, ver foto.