Conjuntos de fracciones egipcias que suman 1

Question

Sea un "conjunto egipcio de suma de unidades" un conjunto de enteros positivos {a, b, c ...} tales que sus fracciones egipcias suman 1; y ninguno de los elementos es igual. Es decir:

1/a + 1/b + 1/c ... = 1

Que el número de elementos de cualquier conjunto sea igual a N. Para cualquier conjunto de este tipo, que el a+b+c... = Z

Por ejemplo, con el conjunto {2,3,6} N=3, Z=11

¿Existen dos "conjuntos egipcios de suma unitaria" que tengan el mismo valor Z?

Todavía no he encontrado ninguno, pero sospecho que existirían. ¿Hay algún par que tenga también el mismo valor N?

¿Qué números enteros no pueden ser un valor Z para ningún conjunto?

Z=11 es el valor mínimo, y Z= 24 parece ser el siguiente más pequeño (para el conjunto {2,4,6,12}); así que hay muchos de estos enteros "no-Z" inicialmente. ¿Hay un número infinito de ellos en total; o hay algún valor por encima del cual todos los enteros son valores Z para algún conjunto?

Answer 1

Para su primera pregunta la respuesta es sí, como los ejemplos que he dado en los comentarios. En cuanto a su segunda pregunta, en este OEIS se afirma que "R. L. Graham demostró que a(n)>0 para n>77", donde a(n) es el número de formas de expresar 1 como la suma de fracciones unitarias distintas de manera que la suma de los denominadores sea n.