Irreductibilidad de un polinomio en un campo finito

Question

La pregunta me pide que demuestre que $\mathbb{Z}_{13}[x]/\langle x^{2014}-x^{1000}+1 \rangle$ es un campo.

Ahora lo que sé es que desde $\mathbb{Z}_{13}$ es un campo, así que si muestro que $x^{2014}-x^{1000}+1 $ es irreducible, entonces $\langle x^{2014}-x^{1000}+1 \rangle$ será un ideal máximo y por tanto $\mathbb{Z}_{13}[x]/\langle x^{2014}-x^{1000}+1 \rangle$ será un campo.

Pero no veo cómo demostrar que el polinomio es irreducible en $\mathbb{Z}_{13}[x]$ . Para el grado $\le 3$ , podría utilizar si hay una raíz o no, pero no sé para un grado tan grande.

Tal vez hay un duplicado para esta pregunta, pero por favor, ayuda de todos modos. Gracias.

Answer 1

Esto no es cierto. El polinomio $x^{2014}-x^{1000}+1$ tiene $x^2+6$ como factor, y en particular no es irreducible. Esto se puede comprobar rápidamente observando que si $x^2=-6$ entonces (trabajando en $\mathbb{Z}_{13}$ ) $$x^{2014}-x^{1000}+1=(-6)^{1007}-(-6)^{500}+1=(-6)^{11}-(-6)^8+1=0.$$

Answer 2

HINT

Utilice el hecho de que para $p=13$ de primera, $x^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ . El polinomio de grado t3nto resultante es mucho más fácil de trabajar.