El teorema de Grunwald-Wang

Question

Considerar (roughtly hablando) de las siguientes afirmaciones (la Grunwald-Wang teorema)

Teorema 1 (ver aquí para más detalles Wiki): Vamos a $K$ ser un campo de número y $x \in K$. A continuación, bajo algunas condiciones : $x$ $n$- ésima potencia de iff $x$ $n$- ésima potencia de casi localmente en todas partes.

Teorema 2 (ver teorema (9.2.8) en p541) : Vamos a $K$ ser el número del campo y de la familia $(L_p/K_p)_p$ de los locales abelian extensiones. A continuación, bajo algunas condiciones : existe una extensión de $M/K$ tal que $M_p \simeq L_p$.

Pregunta 1 : ¿por Qué estos dos teoremas equivalente ?

Según la Wiki, el hecho de que $16$ es un 8 de poder casi localmente en todas partes, pero no en $\mathbb{Q}$, implica que no existe una extensión cíclica de grado $8$ donde $2$ es inerte.

Pregunta 2: ¿Cómo demostrar que esta implicación ?

Answer 1

Desde una perspectiva moderna, el Teorema 1 es más fácil, ya que sigue inmediatamente a partir de la desaparición de la $\Sha^1(K,\mu)$ y Kummer teoría.

Teorema 2, por otro lado, requiere de la desaparición de la $\mathrm{coker}^1(K,A)$, el cokernel de la localización del mapa, donde a es el potencial global del grupo de galois (en ambos casos, suponiendo que no estamos en un caso especial). Teorema 2 es más cercana a la que originalmente probado por Grunwald (y posteriormente corregido por Wang).

P2: La implicación que requiere la clase de teoría de campo para probar. El punto es que la norma del residuo símbolo de $16$ desaparecerían todas partes, excepto en $2$, contradiciendo la fórmula del producto/global de la ley de reciprocidad.

P1: Desde Teorema 2 nos permite prescribir la ramificación en un número finito de lugares, podemos utilizar el mismo método para concluir el Teorema 1 del Teorema 2.