Bueno, después de un par de días pensando creo que la ecuación diofantina se puede resolver de otra manera. En primer lugar, asumo que $y=0$ por lo que la ecuación se convierte en $8x^6=0$ entonces $x=0$ . Ahora, consideremos $y\neq 0$ observamos que el LHS es divisible por $y$ y, por tanto, el lado derecho también tiene que ser divisible por $y$ , por lo que obtenemos que $y\mid 8x^6$ . La idea es demostrar que $\gcd(x,y)=1$ . Podemos escribir la ecuación en la forma $$(2x^3+y^2+y)(4x^3-y)=4x^3y^2.$$
Supongamos que $\gcd(x,y)=d>1$ por lo que existe un número primo $p$ tal que $p\mid x$ y $p\mid y$ . Establecer $v_{p}(x)=\alpha>0$ y $v_{p}(y)=\beta>0$ . En primer lugar, supongamos que $p$ es impar, entonces $v_{p}(4x^3y^2)=3\alpha+2\beta$ .
Por otro lado, $v_{p}((2x^3+y^2+y)(4x^3-y))=v_{p}(2x^3+y^2+y)+v_{p}(4x^3-y)$ pero $v_{p}(2x^3+y^2+y)=\min\{v_{p}(2x^3), v_{p}(y^2), v_{p}(y)\}=3\alpha$ o $\beta$ si $3\alpha\le \beta$ o si $3\alpha>\beta$ respectivamente. También $v_{p}(4x^3-y)=\min\{v_{p}(4x^3), v_{p}(y)\}=3\alpha$ o $\beta$ si $3\alpha\le \beta$ o si $3\alpha>\beta$ respectivamente. En resumen, deducimos que $$v_{p}((2x^3+y^2+y)(4x^3-y))= \begin{cases} 6\alpha &\text{if } 3\alpha\le \beta \\ 2\beta &\text{if } 3\alpha>\beta \end{cases} $$
Por lo tanto, concluimos que $6\alpha=3\alpha+2\beta$ o $2\beta=3\alpha+2\beta$ . En el primer caso obtenemos $\beta\le 0$ y en el segundo caso obtenemos $\alpha=0$ , contradicción en ambos casos. Ahora, supongamos $p=2$ . En este caso obtenemos $v_{p}(4x^3y^2)=3\alpha+2\beta+2$ y tras un razonamiento análogo deducimos que $$v_{p}((2x^3+y^2+y)(4x^3-y))= \begin{cases} 6\alpha+3 &\text{if } 3\alpha+1< \beta \\ 3\alpha+\beta+1 &\text{if }\, 3\alpha+1=\beta \\ 2\beta &\text{if } 3\alpha+1>\beta \end{cases} $$
Así que tenemos $6\alpha+3=3\alpha+2\beta+2$ o $3\alpha+\beta+1=3\alpha+2\beta+2$ o $2\beta=3\alpha+2\beta+2$ . En cualquier caso llegamos a una contradicción. En conclusión tal $p$ no existe y por lo tanto $\gcd(x,y)=1$ . Utilizando esto y el hecho de que $y\mid 8x^6$ conseguimos que $y\mid 8$ . Por lo tanto, los posibles valores de $y$ son $\{\pm1, \pm2, \pm4, \pm8\}$ .
Una comprobación rutinaria utilizando los posibles valores de $y$ nos da soluciones sólo para $y=-1$ y $y=2$ . En el primer caso obtenemos $x=0$ y en el segundo caso obtenemos $x=1$ . Por lo tanto, todas las soluciones enteras para la ecuación son: $$(x,y)=(0,0), (0,-1), (1,2).$$
