Demostrar Si LCM(a,b) = c y a|k y b|k entonces c|k.

Question

Demostrar Si LCM(a,b) = c y a|k y b|k entonces c|k.

Sé que c divide a a y b si c = Mínimo común múltiplo de a y b.

También sé que c divide todos los múltiplos de a y b.

Sólo que no estoy seguro de cómo probarlo.

Answer 1

Por el algoritmo de la división, $k=qc+r$ donde $0\le r<c$ .

Entonces $a|k$ y $a|c\implies a|r$ , $\;\;$ y $\;\;$$ b|k $ and $ b|c|implica b|r$.

Desde $r$ es un múltiplo común de $a$ y $b$ con $r<c$ , $r=0$ .

Answer 2

Utilizaré esta notación: si $p$ es cualquier primo y $r\geq 2$ es un número natural, entonces $\mu_p(r)$ es el poder que $p$ se eleva a en la factorización primaria de $r$ . Por ejemplo, $\mu_5(150)=2$ y $\mu_2(21)=0$ .

Demostraremos que para cada $p^n$ que divide $c$ (donde $p$ es un primo y $n$ es un número natural) $p^n$ también divide $k$ .

De hecho, si $p^n$ divide $c$ entonces $\mu_p(c)\geq n$ pero $\mu_p(c)=\max\{\mu_p(a),\mu_p(b)\}$ . Así, $p^n$ divide $a$ o $b$ . Desde $a$ y $b$ dividir $k$ , $p^n$ también divide $k$ .

Ahora, tenemos $\mu_p(k)\geq\mu_p(c)$ y esto es cierto para todos los primos $p$ . Esto significa que $c$ divide $k$ .