El logaritmo no está definido en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$

Question

Consideremos la rama principal del logaritmo en su forma polar $$f(z)=\ln r+i\theta$$ Si tomamos como dominio $G=\mathbb{C}\setminus\{0\}$ entonces, obviamente $\theta$ no es una función continua de $z$ a medida que nos acercamos al eje real negativo. Sin embargo, se puede tener la tentación de verificar las ecuaciones de Cauchy-Riemann en su forma polar y concluir (erróneamente) que la función es analítica ya que $$u=\ln r, v=\theta$$ y $$u_r=\frac{1}{r}, v_\theta=1$$ ¿Qué detalle está pasando por alto la persona al hacerlo?

Edición: He visto pruebas de por qué el logaritmo es analítico en $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ y se trata de hacer exactamente lo que he hecho antes; sin embargo, las pruebas no reflejan por qué necesitamos ese dominio.

Answer 1

Creo que el problema es con las funciones multivaluadas.

En esencia, el logaritmo toma $z= re^{i\theta}\neq 0$ y da el conjunto $$\left\{\ln(r) +i\left( \theta + 2k\pi\right)\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$$ ya que el exponencial de cualquiera de ellos es $z$ .

Una vez que hayamos establecido que $-\pi <\theta \leq \pi$ es decir $z\in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ tenemos una forma de elegir un miembro de la lista anterior y hacer una función (univalente) que viene dada por la expresión $\ln(r) +i\theta$ .

Veamos en un ejemplo cómo funciona. Tomaré el límite $\lim\limits_{z\to -1}\log(z)$ para dos determinaciones del logaritmo.

Primero fijamos la rama principal $-\pi <\theta \leq \pi$ . Tome $z = -1 + it$ entonces

$$\lim\limits_{t\to 0^+}\log(-1+it) = \lim\limits_{t\to 0^+} i\theta(t) = i\pi \, \text{ and } \lim\limits_{t\to 0^-}\log(-1+it) = -i\pi $$ Ahora, si seleccionamos la rama $0 <\theta \leq 2\pi$ (definido en $\mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ ) tenemos que $$ \lim\limits_{z\to -1}\log(z) = i\pi. $$

Ambas se dan por la misma expresión, pero difieren en cuanto a la forma de $\theta$ se comporta.